/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Dowolny/Czworościan

Zadanie nr 6770571

Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt ABC , a krawędź AD jest wysokością ostrosłupa. Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa ABCD , jeśli wiadomo, że jego objętość jest równa 48 oraz |BC | = 6,|BD | = |CD | = 13 . Podaj wszystkie możliwe odpowiedzi.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Jeżeli oznaczymy długość wysokości ostrosłupa przez H to z trójkątów prostokątnych ABD i ACD mamy

∘ --------- ∘ ---------- AB = AC = 132 − H 2 = 169 − H 2.

W szczególności trójkąt ABC jest równoramienny i jego wysokość ma długość

∘ ---------- ∘ -------------- ∘ ---------- h = AB 2 − 32 = 1 69− H 2 − 9 = 160 − H 2.

Możemy teraz wykorzystać podaną objętość ostrosłupa.

1- 48 = V = 3Pp ⋅H 1 1 ∘ ---------- 48 = --⋅--⋅6 ⋅ 160 − H 2 ⋅H 3∘ -2-------- 48 = 160 − H 2 ⋅H /()2 2 2 230 4 = (160 − H )⋅ H H 4 − 160H 2 + 2304 = 0.

Otrzymaliśmy równanie dwukwadratowe, więc podstawmy 2 t = H .

2 t − 160t + 2304 = 0 / : 2 1- 2 2 t − 8 0t+ 11 52 = 0 2 2 Δ = 80 − 2 ⋅1152 = 6400 − 2304 = 4096 = 6 4 t = 80 − 64 = 16 ∨ t = 80 + 64 = 144.

Daje to nam odpowiednio H = 4 i H = 12 (bo H > 0 ).

Pozostało obliczyć pole powierzchni całkowitej ostrosłupa (w każdym z przypadków). Żeby nie liczyć dwa razy tego samego, policzymy je dla dowolnego H , a na koniec podstawimy wyliczone wyżej wartości.

Pola trzech ścian liczymy ’od ręki’

∘ ---------- PABD = PACD = 1AB ⋅H = 1-H 169 − H 2 2 2 1- 1- ∘ --------2- ∘ --------2- PABC = 2BC ⋅h = 2 ⋅6⋅ 160 − H = 3 160− H .

Teraz liczymy wysokość ściany BCD z trójkąta prostokątnego BED (można też z AED )

∘ ----2------2 ∘ --2----2- √ ---- DE = BD − BE = 13 − 3 = 1 60.

Zatem

1 1 √ ---- √ --- PBCD = --⋅BC ⋅DE = --⋅6 ⋅ 160 = 12 10 2 2

i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest równe

∘ ---------- ∘ ---------- √ --- Pc = H 1 69− H 2 + 3 160 − H 2 + 12 10.

Podstawiając H = 4 i H = 12 otrzymujemy odpowiednio

√ --------- √ --------- √ --- √ --- √ --- Pc = 4 169 − 16 + 3 160− 16+ 12 10 = 12 17 + 36 + 12 1 0 √ ---------- √ ---------- √ --- √ --- Pc = 12 169 − 1 44+ 3 160 − 144 + 12 10 = 60 + 12 + 12 10 = √ --- = 72 + 12 10 .

 
Odpowiedź: 12√ 17+ 36+ 12√ 10- lub √ --- 72 + 12 10

Wersja PDF