Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6879292

Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoramienny ABC . Krawędź AS jest wysokością ostrosłupa oraz  √ ---- |AS | = 8 210, |BS | = 118 , |CS | = 131 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Najtrudniejsza część tego zadania to ustalenie, które boki trójkąta ABC są równe.


PIC


Gdy naszkicujemy ostrosłup, w którym AS jest wysokością, to widać, że trójkąty ASC i ASB są prostokątne. To pozwala łatwo obliczyć długości krawędzi AB i AC .

 ∘ ----------- ∘ --------------- √ ---- AB = BS 2 − AS 2 = 11 82 − 6 4⋅21 0 = 484 = 22 ∘ ----------- ∘ --------------- √ ----- AC = CS 2 − AS 2 = 1 312 − 64⋅2 10 = 372 1 = 61.

W takim razie BC = AB = 22 lub BC = AC = 61 . Pierwszy przypadek jest jednak niemożliwy, bo 22+ 22 < 61 . Zatem BC = AC = 61 .

Aby obliczyć objętość ostrosłupa, potrzebujemy obliczyć pole jego podstawy. Można to zrobić ze wzoru Herona, ale my zrobimy to bardziej elementarnie. Dorysujmy wysokość CD trójkąta ABC . Ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny, punkt D jest środkiem odcinka AB i mamy

 ∘ ---2-------2 √ ----- CD = AC − AD = 3600 = 6 0.

Zatem

 1 1 PABC = --⋅AB ⋅CD = --⋅22⋅ 60 = 660 2 2

i objętość ostrosłupa jest równa

 1 1 √ ---- √ ---- V = --⋅PABC ⋅AS = --⋅6 60⋅8 210 = 17 60 210. 3 3

 
Odpowiedź:  √ ---- 176 0 210

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!