Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoramienny ABC. Krawędź... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Czworościan, 6879292

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Dowolny

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Dowolny/Czworościan

Zadanie nr 6879292

Podstawą ostrosłupa $ABCS$ jest trójkąt równoramienny $ABC$ . Krawędź $AS$ jest wysokością ostrosłupa oraz $√ ---- |AS | = 8 210, |BS | = 118 , |CS | = 131$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Najtrudniejsza część tego zadania to ustalenie, które boki trójkąta $ABC$ są równe.

Gdy naszkicujemy ostrosłup, w którym $AS$ jest wysokością, to widać, że trójkąty $ASC$ i $ASB$ są prostokątne. To pozwala łatwo obliczyć długości krawędzi $AB$ i $AC$ .

∘ ----------- ∘ --------------- √ ---- AB = BS 2 − AS 2 = 11 82 − 6 4⋅21 0 = 484 = 22 ∘ ----------- ∘ --------------- √ ----- AC = CS 2 − AS 2 = 1 312 − 64⋅2 10 = 372 1 = 61.

W takim razie $BC = AB = 22$ lub $BC = AC = 61$ . Pierwszy przypadek jest jednak niemożliwy, bo $22+ 22 < 61$ . Zatem $BC = AC = 61$ .

Aby obliczyć objętość ostrosłupa, potrzebujemy obliczyć pole jego podstawy. Można to zrobić ze wzoru Herona, ale my zrobimy to bardziej elementarnie. Dorysujmy wysokość $CD$ trójkąta $ABC$ . Ponieważ trójkąt $ABC$ jest równoramienny, punkt $D$ jest środkiem odcinka $AB$ i mamy