/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup

Zadanie nr 2006414

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku 5:12, a pole jest równe 240 (zobacz rysunek). Punkt E jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek SE jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem ∘ 60 . Oblicz objętość ostrosłupa.

PIC

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy AB = 5x i BC = 12x , to z podanego pola podstawy mamy

240 = 5x ⋅12x = 60x2 ⇒ x2 = 4 ⇒ x = 2.

Wysokość ostrosłupa obliczymy z trójkąta prostokątnego AES , ale zanim to zrobimy obliczmy długość odcinka AE .

∘ ------------ ∘ ------------- AE = 1-AC = 1- AB 2 + BC 2 = 1- 25x2 + 144x 2 = x-⋅13 = 1 3. 2 2 2 2

Obliczamy teraz z trójkąta AES wysokość ostrosłupa.

-SE- ∘ √ -- √ -- √ -- AE = tg 60 = 3 ⇒ SE = 3 ⋅13 = 13 3.

Pozostało obliczyć objętość ostrosłupa.

√ -- √ -- V = 1-⋅P ⋅SE = 1-⋅240 ⋅13 3 = 1 040 3. 3 ABCD 3

 
Odpowiedź: √ -- 104 0 3

Wersja PDF