Zadanie nr 5721752

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt ABCD , którego boki mają długości |AB | = 32 i |BC | = 1 8 . Ściany boczne ABS i CDS są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem . Ściany boczne BCS i ADS są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem . Miary kątów i spełniają warunek: ∘ α + β = 90 . Oblicz tgα oraz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

Niech będzie wysokością ostrosłupa, a SK ,SL ,SM ,SN niech będą wysokościami ścian bocznych. Wtedy płaszczyzny SP K , SP L , SP M , SP N są prostopadłe do odpowiednich krawędzi podstawy i to pozwala łatwo zidentyﬁkować kąty nachylenia ścian bocznych płaszczyzny podstawy: ∡SKP = ∡SMP = α i ∡SLP = ∡SNP = β . W szczególności trójkąty prostokątne SKP i SMP są przystające i PM = PK . Analogicznie, przystające są trójkąty SLP i SNP , czyli P N = PL . To oznacza, że punkt jest środkiem prostokąta ABCD . To z kolei oznacza, że PA = P B = PC = PD i trójkąty SAP , SBP , SCP i SDP są przystające. Stąd SA = SB = SC = SD , czyli wszystkie trójkąty w ścianach bocznych są równoramienne.

Zauważmy, że podana informacja o przystawaniu przeciwległych ścian bocznych jest zupełnie niepotrzebna – wynika to z równości kątów nachylenia przeciwległych ścian bocznych do płaszczyzny podstawy.

Spróbujemy teraz wykorzystać podaną informację o tym, że ∘ α + β = 9 0 . W trójkątach prostokątnych SP K i SP L mamy