/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup

Zadanie nr 6826981

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ABCS o podstawie ABC wysokość jest równa 3, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę 12 0∘ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Musimy najpierw ustalić jak zaznaczyć kąt między ścianami bocznymi.

PIC

Kąt ten to kąt płaski jaki otrzymujemy przecinając kąt dwuścienny płaszczyzną prostopadłą do krawędzi kąta. W naszej sytuacji sprawa jest dość prosta. Jeżeli poprowadzimy wysokości BE i CE w trójkątach ścian bocznych, to ponieważ ostrosłup jest prawidłowy (ściany są przystające), to spodki tych wysokości będą dokładnie w tym samym punkcie, oznaczmy go przez E . Otrzymana płaszczyzna BEC jest prostopadła do krawędzi AS , zatem kąt BEC jest kątem między ścianami bocznymi.

Oznaczmy AB = a . Z trójkąta prostokątnego BF E mamy

BF- ∘ √ -- EF = tg6 0 = 3 a EF = B√F--= √2--= --a√--. 3 3 2 3

Teraz patrzymy na trójkąt prostokątny AEF

┌ (-----)--------------- ∘ ----------- ││ √ -- 2 ( ) 2 AE = AF 2 − EF 2 = ∘ a--3- − -a√--- = 2 2 3 ∘ -------- ∘ --- ∘ -- √ -- 3- 1-- -8- 2- a---6 = a 4 − 12 = a 12 = a 3 = 3 .

Teraz patrzymy na trójkąty podobne AKS i AEF (oba są prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku A ).

AK AE ---- = ---- KS √ - EF √- 23 ⋅ a23 a36- ------- = -a√-- 3 2 3 a √ 3- a√ 6- 2√ 3- √ -- 9 ----- = -----⋅ -----= 2 2 / ⋅√--- 9 -3 a 3 18√ 2 a = -√---- 3

Pozostało obliczyć objętość ostrosłupa.

( √-) 2 √ -- 2√ -- 18√-2- ⋅ 3 324⋅2 ⋅√ 3- √ -- V = 1-⋅ a---3-⋅3 = ----3---------= --3-------= 54 3. 3 4 4 4

 
Odpowiedź: √ -- 54 3

Wersja PDF