Zadanie nr 7324297

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest czworokąt ABCD . Przekątna tego czworokąta ma długość √ -- 10 3 , a kąt ADC ma miarę 1 20∘ . Każda krawędź boczna tego ostrosłupa ma tę samą długość 26. Oblicz odległość środka wysokości tego ostrosłupa od krawędzi .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od naszkicowania opisanej sytuacji.

Zauważmy jeszcze, że z informacji o tym, że wszystkie krawędzie boczne mają tę samą długość wynika, że trójkąty prostokątne AES ,BES ,CES i DES są przystające, więc AE = BE = CE = DE , co z kolei oznacza, że spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na czworokącie ABCD .

Skupmy się teraz na obliczeniu promienia okręgu opisanego na czworokącie ABCD . Zrobimy to korzystając z twierdzenia sinusów w trójkącie ACD (bo okrąg opisany na czworokącie ABCD jest też okręgiem opisanym na trójkącie ACD ).

AC AC AC 10√ 3- 2R = --------= ---------------- = ------- = -√----= 20. sin 120 ∘ sin(180 ∘ − 6 0∘) sin 60∘ -23

Zatem R = 10 . To pozwala obliczyć wysokość ostrosłupa

∘ ---------- ∘ ---------- √ ---- H = AS 2 − R 2 = 26 2 − 10 2 = 576 = 24 .

Niech teraz będzie środkiem wysokości ostrosłupa, a rzutem punktu na krawędź . Trójkąt SF G jest prostokątny i ma wspólny kąt ostry z trójkątem SEA , więc trójkąty te są podobne. Korzystając z tego podobieństwa mamy