/Studia/Analiza/Funkcje/Badanie funkcji/Pochodne/Styczne do wykresu

Zadanie nr 2019206

Z punktu ( 1 ) A = 2,3 poprowadzono styczne do wykresu funkcji 2 y = 2x − x . Wyznacz równia tych stycznych.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Musimy sprawdzić w jakim punkcie styczna do wykresu y = f(x) jest prostą przechodzącą przez punkt ( ) A = 1,3 2 . Zacznijmy od wyznaczenia ogólnej postaci stycznej do danej funkcji w punkcie 2 (a,f(a)) = (a,2a − a ) . Liczymy pochodną.

f ′(x ) = 2− 2x.

Styczna do paraboli w punkcie (a,f(a)) ma więc współczynnik kierunkowy równy 2 − 2a , czyli jest to prosta o równaniu

y = f ′(a)(x − a) + f(a ) 2 y = (2 − 2a)(x − a )+ 2a − a .

Sprawdzamy teraz kiedy styczna przechodzi przez dany punkt ( ) 12 ,3 .

( ) 3 = (2 − 2a) 1− a + 2a − a2 2 2 2 0 = (1 − a) − (2a − 2a ) + 2a − a − 3 0 = a2 − a − 2 Δ = 1 + 8 = 9 1-−-3- 1-+-3- a = 2 = − 1 lub a = 2 = 2.

Styczne mają więc równania

y = 4(x + 1) − 3 = 4x + 1 y = − 2(x − 2) = − 2x + 4.

PIC

 
Odpowiedź: y = 4x+ 1 i y = − 2x + 4

Wersja PDF