/Studia/Analiza/Funkcje/Badanie funkcji/Pochodne/Styczne do wykresu

Zadanie nr 3109718

Funkcja f jest określona wzorem x2+3 f(x ) = x− 1 dla każdej liczby rzeczywistej x ⁄= 1 . Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie P = (− 3,− 3) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Będziemy korzystać z tego, że współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x0 jest równy pochodnej f′(x0) w tym punkcie. Liczymy pochodną

( )′ ′ x2-+-3- 2x-⋅(x-−-1)-−-(x2-+-3)-⋅1 f (x) = x− 1 = (x− 1)2 = 2x-2 −-2x−--x2 −-3 x2 −-2x−--3- = (x − 1)2 = (x − 1)2 f′(− 3) = 9-+-6-−-3-= 12-= 3. 42 16 4

Sposób I

Korzystamy ze wzoru

′ y = f (x0)(x − x0) + f(x0)

na styczną do wykresu y = f(x) w punkcie x = x0 . Mamy zatem

3 9+ 3 3 3 y = --(x+ 3)+ ------= -x − --. 4 − 4 4 4

Sposób II

Wiemy, że styczna jest postaci y = 3x + b 4 . Współczynnik b wyliczamy z tego, że ma ona przechodzić przez punkt (− 3,− 3) .

9- 9- 3- −3 = − 4 + b ⇒ b = − 3+ 4 = − 4 .

Styczna ma więc równanie y = 3x − 3 4 4 .

Na koniec obrazek dla ciekawskich.

PIC

 
Odpowiedź: y = 34x − 34

Wersja PDF