/Studia/Analiza/Funkcje/Badanie funkcji/Pochodne/Styczne do wykresu

Zadanie nr 3576387

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz pole trójkąta ograniczonego przez osie układu współrzędnych oraz styczną do wykresu funkcji y = −x 4 + 2x2 − 1 w punkcie x0 = 12 .

Rozwiązanie

Liczymy pochodną danej funkcji

′ 3 f (x) = − 4x + 4x.

Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie 1 x0 = 2 jest równy

( ) f ′(x 0) = f′ 1- = − 4 ⋅ 1-+ 4 ⋅ 1-= − 1-+ 2 = 3. 2 8 2 2 2

Styczna ma więc postać y = 32x + b . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu

( ( ) ) ( ) ( ) 1- 1- 1- -1- 1- 1- 9-- 2,f 2 = 2,− 1 6 + 2 − 1 = 2 ,− 16 .

Mamy zatem

-9- 3- 1- -9- 3- 2-1 − 16 = 2 ⋅2 + b ⇒ b = − 16 − 4 = − 1 6

Styczna ma więc równanie y = 3x − 21- 2 16 . Jej punkt przecięcia z osią Oy to ( 21) A = 0,− 16 . Wyznaczmy jeszcze jej punkt przecięcia z osią Ox .

3 21 21 2 7 0 = --x− --- ⇒ x = ---⋅ --= --. 2 16 16 3 8

Punkt przecięcia B stycznej z osią Ox ma więc współrzędne B = ( 7,0) 8 .

PIC

Pole trójkąta AOB jest więc równe

1-⋅ 21-⋅ 7-= 147-. 2 16 8 256

 
Odpowiedź: 124576

Wersja PDF