/Studia/Analiza/Funkcje/Badanie funkcji/Pochodne/Styczne do wykresu

Zadanie nr 4319560

Funkcja f określona jest wzorem 2 f(x ) = 3x + 2x − 5 dla każdej liczby rzeczywistej x . Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji f , które przechodzą przez punkt (− 1,− 7) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Musimy sprawdzić w jakim punkcie styczna do wykresu f(x) jest prostą przechodzącą przez punkt (− 1,− 7) . Zacznijmy od wyznaczenia ogólnej postaci stycznej do danej paraboli w punkcie (a,f(a)) = (a,3a2 + 2a− 5) . Liczymy pochodną.

f ′(x ) = 6x + 2.

Styczna do paraboli w punkcie (a,f(a)) ma więc współczynnik kierunkowy równy 6a + 2 , czyli jest to prosta o równaniu

y = f′(a)(x− a)+ f(a) y = (6a+ 2)(x − a)+ 3a2 + 2a − 5.

Sprawdzamy teraz kiedy styczna przechodzi przez dany punkt (− 1,− 7) .

− 7 = (6a + 2)(− 1− a )+ 3a 2 + 2a − 5 2 2 0 = − 6a− 6a − 2− 2a+ 3a + 2a+ 2 3a 2 + 6a = 0 3a (a+ 2) = 0.

Mamy stąd a = − 2 lub a = 0 . Styczne mają wtedy odpowiednio równania

y = − 10(x + 2 )+ 12 − 4 − 5 = − 10x − 17 y = 2x − 5.

Na koniec rysunek dla ciekawskich

PIC

 
Odpowiedź: y = −1 0x− 17 i y = 2x − 5

Wersja PDF