/Studia/Analiza/Funkcje/Badanie funkcji/Pochodne/Styczne do wykresu

Zadanie nr 4930658

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji 3−-2x3- y = (2− 3x)2 w punkcie x0 = 1 .

Rozwiązanie

Będziemy korzystać z tego, że współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x0 jest równy pochodnej f′(x0) w tym punkcie. Można też od razu skorzystać ze wzoru na styczną

y = f′(x0)(x− x0)+ f(x0).

Liczymy pochodną

( ) ′ 3 − 2x 3 ′ f (x) = -------------2 = 4 − 12x + 9x −-6x-2(4−--12x-+-9x2)-−-(3-−-2x3)-⋅(−-12+--18x)- = (2 − 3x )4 = −-24x-2 +-72x3 −-54x4-+-36-−-54x-−--24x3-+-36x4- = (2 − 3x )4 = 4 3 2 = −-18x--+--48x-−--24x--−-54x-+-3-6 (2− 3x)4 − 18 + 48 − 2 4− 5 4+ 36 f′(1) = ------------------------- = − 12. 1

Zatem styczna jest postaci y = − 12x + b . Współczynnik b wyliczamy z tego, że ma ona przechodzić przez punkt

( ) (1,f(1 )) = 1 , 3−-2- = (1,1). 1

Mamy zatem b = 13 i styczna ma równanie y = − 12x + 13 . Na koniec obrazek dla ciekawskich.

PIC

 
Odpowiedź: y = − 1 2x+ 13

Wersja PDF