/Studia/Analiza/Funkcje/Badanie funkcji/Pochodne/Styczne do wykresu

Zadanie nr 6872240

Funkcja f określona jest wzorem 3 2 f(x ) = x − 6x + 12x − 5 dla każdej liczby rzeczywistej x . Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji f , które przechodzą przez punkt (3,3) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Musimy sprawdzić w jakim punkcie styczna do wykresu f(x) jest prostą przechodzącą przez punkt (3,3) . Zacznijmy od wyznaczenia ogólnej postaci stycznej do danej funkcji w punkcie (a,f(a)) = (a,a3 − 6a 2 + 1 2a− 5) . Liczymy pochodną.

f′(x) = 3x 2 − 12x + 12.

Styczna do paraboli w punkcie (a,f(a)) ma więc współczynnik kierunkowy równy 2 3a − 1 2a+ 12 , czyli jest to prosta o równaniu

y = f′(a)(x− a)+ f(a) y = (3a2 − 12a+ 12)(x − a) + a3 − 6a2 + 12a − 5.

Sprawdzamy teraz kiedy styczna przechodzi przez dany punkt (3 ,3) .

3 = (3a2 − 12a + 12)(3 − a) + a3 − 6a2 + 12a − 5 2 3 2 3 2 0 = 9a − 36a + 36 − 3a + 12a − 12a + a − 6a + 12a − 8 0 = − 2a3 + 15a2 − 36a + 28

Szukamy teraz pierwiastków wymiernych tego wielomianu – łatwo sprawdzić, że jednym z nich jest a = 2 . Dzielimy więc ten wielomian przez (a− 2) – my zrobimy to grupując wyrazy.

3 2 3 2 2 − 2a + 15a − 36a + 28 = (−2a + 4a )+ (1 1a − 22a)− 14a + 28 = = −2a 2(a− 2)+ 1 1a(a− 2)− 14(a− 2) = − (2a2 − 11a + 14)(a − 2).

Rozkładamy jeszcze trójmian w pierwszym nawiasie.

Δ = 121 − 112 = 9 11-−-3- 11-+-3- 7- a = 4 = 2 lub a = 4 = 2.

Zatem są dwie styczne spełniające warunki zadania: dla a = 2 i a = 72 . Równanie pierwszej z nich to

y = (3a2 − 12a+ 12)(x − 2) + a3 − 6a2 + 12a − 5 = = (12− 24+ 12)(x − 2) + 8 − 24 + 24 − 5 = 3 ,

a równanie drugiej to

2 3 2 y = ((3a − 12a + 12 ))(x(− a)+) a − 6a + 1 2a− 5 = 147 7 34 3 147 = ----− 42+ 12 x − -- + ----− ----+ 4 2− 5 = 4( ) 2 8 2 2-7 7- 5-1 2-7 138- 27- 69- = 4 x − 2 + 8 = 4 x − 8 = 4 x− 4 .

PIC

 
Odpowiedź: y = 3 i y = 274 x − 649

Wersja PDF