Zadanie nr 1288735
Wykaż, że w sześcianie, odległość krawędzi od nieprzecinającej się z nią przekątnej sześcianu jest równa połowie długości przekątnej ściany.
Rozwiązanie
Zróbmy szkicowy rysunek.
Musimy znaleźć odcinek, który jest jednocześnie prostopadły do i
. Twierdzimy, że taką własność ma odcinek
łączący środek krawędzi
ze środkiem przekątnej
.
Jest on prostopadły do , bo leży w płaszczyźnie prostopadłej do
i przechodzącej przez środek krawędzi
. Z drugiej, strony trójkąt
jest równoramienny, więc jego środkowa
jest jednocześnie jego wysokością, czyli
jest prostopadły do
.
Sposób I
Obliczymy długość odcinka z trójkąta prostokątnego
.
Ponieważ skala nie jest istotna, możemy założyć, że krawędź sześcianu ma długość 1. Długość przekątnej sześcianu liczymy z trójkąta prostokątnego

Zatem

Podobnie, z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie , obliczmy długość odcinka

Możemy teraz obliczyć długość odcinka .

Jest to oczywiście dokładnie połowa długości przekątnej ściany sześcianu.
Sposób II
Zauważmy, że ponieważ punkt jest środkiem sześcianu, punkt ten jest jednocześnie środkiem kwadratu
, którego wierzchołki są środkami krawędzi
i
. Zatem
jest połową przekątnej kwadratu
. Kwadrat ten jest przystający do kwadratu
, co dowodzi, że odcinek
ma długość równą połowie przekątnej ściany sześcianu.