Wykaż, że w sześcianie, odległość krawędzi od nieprzecinającej... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Sześcian, 1288735

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Sześcian

Zadanie nr 1288735

Wykaż, że w sześcianie, odległość krawędzi od nieprzecinającej się z nią przekątnej sześcianu jest równa połowie długości przekątnej ściany.

Rozwiązanie

Zróbmy szkicowy rysunek.

Musimy znaleźć odcinek, który jest jednocześnie prostopadły do $GF$ i $DH$ . Twierdzimy, że taką własność ma odcinek $KS$ łączący środek krawędzi $GF$ ze środkiem przekątnej $DH$ .

Jest on prostopadły do $GF$ , bo leży w płaszczyźnie prostopadłej do $GF$ i przechodzącej przez środek krawędzi $K$ . Z drugiej, strony trójkąt $DHK$ jest równoramienny, więc jego środkowa $KS$ jest jednocześnie jego wysokością, czyli $KS$ jest prostopadły do $DH$ .

Sposób I

Obliczymy długość odcinka $KS$ z trójkąta prostokątnego $DSK$ .

Ponieważ skala nie jest istotna, możemy założyć, że krawędź sześcianu ma długość 1. Długość przekątnej $DH$ sześcianu liczymy z trójkąta prostokątnego $DBH$

------------ ∘ 2 2 √ -- DH = DB + BH = 3.

Zatem

-- √ 3 DS = ----. 2

Podobnie, z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $DF K$ , obliczmy długość odcinka $DK$

∘ -----(---)2 √ -- 2 1- --5- DK = 1 + 2 = 2 .

Możemy teraz obliczyć długość odcinka $KS$ .

∘ ------ √ -- ∘ ------------ 5 3 2 KS = KD 2 − DS 2 = --− --= ----. 4 4 2

Jest to oczywiście dokładnie połowa długości przekątnej ściany sześcianu.

Sposób II

Zauważmy, że ponieważ punkt $S$ jest środkiem sześcianu, punkt ten jest jednocześnie środkiem kwadratu $KLMN$ , którego wierzchołki są środkami krawędzi $GF ,HE ,BC$ i $AD$ . Zatem $KS = 12 KM$ jest połową przekątnej kwadratu $KLMN$ . Kwadrat ten jest przystający do kwadratu $ABHG$ , co dowodzi, że odcinek $KS$ ma długość równą połowie przekątnej ściany sześcianu.