Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1288735

Wykaż, że w sześcianie, odległość krawędzi od nieprzecinającej się z nią przekątnej sześcianu jest równa połowie długości przekątnej ściany.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zróbmy szkicowy rysunek.


PIC


Musimy znaleźć odcinek, który jest jednocześnie prostopadły do GF i DH . Twierdzimy, że taką własność ma odcinek KS łączący środek krawędzi GF ze środkiem przekątnej DH .

Jest on prostopadły do GF , bo leży w płaszczyźnie prostopadłej do GF i przechodzącej przez środek krawędzi K . Z drugiej, strony trójkąt DHK jest równoramienny, więc jego środkowa KS jest jednocześnie jego wysokością, czyli KS jest prostopadły do DH .

Sposób I

Obliczymy długość odcinka KS z trójkąta prostokątnego DSK .

Ponieważ skala nie jest istotna, możemy założyć, że krawędź sześcianu ma długość 1. Długość przekątnej DH sześcianu liczymy z trójkąta prostokątnego DBH

 ------------ ∘ 2 2 √ -- DH = DB + BH = 3.

Zatem

 -- √ 3 DS = ----. 2

Podobnie, z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie DF K , obliczmy długość odcinka DK

 ∘ -----(---)2 √ -- 2 1- --5- DK = 1 + 2 = 2 .

Możemy teraz obliczyć długość odcinka KS .

 ∘ ------ √ -- ∘ ------------ 5 3 2 KS = KD 2 − DS 2 = --− --= ----. 4 4 2

Jest to oczywiście dokładnie połowa długości przekątnej ściany sześcianu.

Sposób II

Zauważmy, że ponieważ punkt S jest środkiem sześcianu, punkt ten jest jednocześnie środkiem kwadratu KLMN , którego wierzchołki są środkami krawędzi GF ,HE ,BC i AD . Zatem KS = 12 KM jest połową przekątnej kwadratu KLMN . Kwadrat ten jest przystający do kwadratu ABHG , co dowodzi, że odcinek KS ma długość równą połowie przekątnej ściany sześcianu.

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!