/Studia/Analiza/Funkcje/Badanie funkcji/Pochodne/Ekstrema/Funkcje wymierne

Zadanie nr 2429416

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wyznacz wartość największą i najmniejszą funkcji -2x-- y = 1+x 2 w przedziale ⟨− 2;2⟩ .

Rozwiązanie

Liczymy pochodną

2 2 2 f′(x ) = 2(1-+-x-)-−-2x-⋅2x-= 2(1-+-x-)-−-4x--= (1+ x2)2 (1 + x 2)2 2 − 2x2 2(1 − x)(1 + x) = ------2-2-= ---------2-2---. (1 + x ) (1 + x )

Widać zatem, że na przedziałach (− ∞ ,− 1⟩ i ⟨1,+ ∞ ) funkcja maleje (pochodna jest ujemna), a na przedziale ⟨− 1,1⟩ rośnie (pochodna dodatnia). Zatem w x = − 1 jest minimum lokalne, a w x = 1 maksimum lokalne. Możemy sobie schematycznie naszkicować wykres funkcji f .

PIC

Wartość największa będzie przyjęta w maksimum lokalnym lub w lewym końcu przedziału (bo przy prawym funkcja maleje). Sprawdzamy

f(1) = --2---= 1 1+ 1 −4 4 f(− 2) = -----= − --. 1+ 4 5

Zatem f = f (1) = 1 max .

Wartość najmniejsza będzie przyjęta w minimum lokalnym lub w prawym końcu przedziału (bo przy lewym funkcja maleje). Sprawdzamy

f (− 1) = -−-2--= −1 1 + 1 --4--- 4- f (2) = 1 + 4 = 5.

Zatem fmin = f(− 1) = − 1 .  
Odpowiedź: f = f(1) = 1 max oraz fmin = f (− 1) = − 1

Wersja PDF