/Studia/Analiza/Funkcje/Badanie funkcji/Pochodne/Monotoniczność/Funkcje wymierne

Zadanie nr 4306829

Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji x2+12 f (x) = x− 2 określonej dla x ⁄= 2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Obliczamy pochodną funkcji f - skorzystamy ze wzoru:

( ) ′ ′ ′ f- = f-g−--fg-. g g2

Mamy zatem

2 ′ 2 ′ f′(x) = (x--+-1-2)(x-−-2)-−-(x--+-12-)(x-−--2) = (x− 2)2 2 2 = 2x-(x−--2)−--(x-+--12) = x-−--4x-−-12. (x − 2)2 (x − 2)2

Mianownik tego wyrażenia jest zawsze dodatni. Rozkładamy jego licznik

Δ = 16+ 48 = 64 4 − 8 4 + 8 x = ------= − 2 lub x = ------= 6 2 2

Zatem

(x+ 2)(x − 6) f′(x) = ----------2---. (x− 2)

To oznacza, że pochodna jest dodatnia w przedziałach

(− ∞ ,− 2) i (6,+ ∞ )

oraz ujemna w przedziałach

(− 2,2) i (2,6).

Funkcja f jest więc rosnąca w przedziałach

(− ∞ ,− 2⟩ i ⟨6,+ ∞ )

oraz malejąca w

⟨− 2,2) i (2,6⟩.

Na koniec dla ciekawskich wykres funkcji f .

PIC

 
Odpowiedź: Ros. w (− ∞ ,− 2⟩ , ⟨6,+ ∞ ) , mal. w ⟨− 2,2) i (2,6⟩ .

Wersja PDF