/Studia/Analiza/Funkcje/Badanie funkcji/Pochodne/Monotoniczność/Funkcje wymierne

Zadanie nr 7208747

Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji x2+3 f (x) = x2−1 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dziedziną danej funkcji jest zbiór

Df = (− ∞ ,−1 )∪ (− 1,1) ∪ (1,+ ∞ ).

Pochodną obliczymy na dwa sposoby. W obu sposobach będziemy korzystać ze wzoru na pochodną ilorazu

( ) f- ′ f′g−--fg′- g = g2 .

Sposób I

Zauważmy, że

x2 +-3- x2 −-1+-4-- ---4--- f(x) = x2 − 1 = x 2 − 1 = 1 + x2 − 1 .

Mamy zatem

( 4 ) ′ ( 4 ) ′ 0 ⋅(x2 − 1)− 4⋅2x − 8x f′(x) = 1+ ------- = ------- = ------------------- = ----------. x2 − 1 x2 − 1 (x2 − 1)2 (x 2 − 1 )2

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia dla x < 0 i ujemna dla x > 0 . Uwzględniając dziedzinę widzimy, że f rośnie na przedziałach: (− ∞ ,− 1) , (− 1,0⟩ i maleje na przedziałach: ⟨0,1) i (1,+ ∞ ) .

Sposób II

Liczymy pochodną

( x 2 + 3 )′ (x 2 + 3)′ ⋅(x2 − 1)− (x2 + 3)(x2 − 1)′ f′(x) = ------- = --------------------------------------= x 2 − 1 (x2 − 1)2 2x⋅ (x2 − 1)− (x2 + 3)⋅2x 2x ⋅(x 2 − 1 − x 2 − 3) − 8x = -----------2-----2----------= ---------2----2-------= --2-----2. (x − 1) (x − 1) (x − 1)

Monotoniczność wyznaczamy tak samo jak poprzednio.

Na koniec dla ciekawskich wykres funkcji f .

PIC

 
Odpowiedź: Rosnąca w (− ∞ ,− 1) , (− 1,0⟩ , malejąca w ⟨0,1) i (1,+ ∞ ) .

Wersja PDF