Zadanie nr 8674154
Przez punkt leżący na zewnątrz okręgu poprowadzono styczną i sieczną do tego okręgu. Styczna przecina ten okrąg w punkcie
, a sieczna w punktach
i
.
Wykaż, że

(Jest to tzw. twierdzenie o stycznej i siecznej.)
Rozwiązanie
Dorysujmy odcinki i
.
Sposób I
Na mocy twierdzenia o kącie między cięciwą a styczną,

To oznacza, że trójkąty i
mają dwa równe kąty. Są więc podobne i

Sposób II
Jeżeli nie chcemy korzystać z twierdzenia o kącie między cięciwą a styczną, to dorysujmy promienie i
. Jeżeli
, to

Teraz korzystamy z zależności między kątem wpisanym i kątem środkowym opartymi na tym samym łuku.

Udowodniliśmy więc, że trójkąty i
mają dwa równe kąty. Są więc podobne i

Własność, którą udowodniliśmy warto pamiętać jako graniczny przypadek twierdzenia o siecznych.