Zadanie nr 7645888

Punkt A = (− 6,1) jest wierzchołkiem trójkąta ABC , a punkt jest środkiem odcinka . Równania prostych , oraz symetralnej boku to odpowiednio y = 12x + 4 , y = − 74x − 5 i y = x + 11 . Napisz równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta ABC opuszczoną z wierzchołka .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Zacznijmy od wyznaczenia punktu – jest to punkt wspólny podanych prostych i .

{ y = 12x + 4 7 y = − 4x− 5.

Porównując -ki mamy

1 7 -x + 4 = − -x − 5 / ⋅4 2 4 2x + 16 = −7x − 20 ⇒ 9x = − 36 ⇒ x = − 4.

Stąd y = 1 x+ 4 = 2 2 i D = (− 4,2) .

Wyznaczamy teraz wierzchołek B = (x ,y ) B B trójkąta ABC – korzystamy z tego, że jest środkiem odcinka .

A + B ( − 6 + x 1 + y ) D = -------= -------B-,-----B- { 2 2 2 − 4 = −-6+xB ⇒ x = − 2 1+yB 2 B 2 = --2-- ⇒ yB = 3.

Zatem B = (−2 ,3) i możemy napisać równanie prostej – jest to prosta prostopadła do podanej symetralnej y = x+ 11 i przechodząca przez . Szukamy więc prostej w postaci y = −x + b i podstawiamy współrzędne punktu .

3 = 2+ b ⇒ b = 1.

Zatem prosta ma równanie y = −x + 1 i możemy wyznaczyć współrzędne punktu – jest to punkt wspólny prostych i .

{ y = −x + 1 y = − 7x − 5 4

Porównujemy -ki.

7 − x + 1 = − -x − 5 4 3x = − 6 ⇒ x = − 6 ⋅ 4-= − 8. 4 3

Stąd y = −x + 1 = 9 i C = (− 8 ,9 ) . Pozostało teraz napisać równanie wysokości opuszczonej z wierzchołka . Jest to prosta prostopadła do i przechodząca przez . Szukamy równania w postaci y = − 2x + b i podstawiamy współrzędne punktu .