Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6554210

Środki okręgów o1 i o2 znajdują się po różnych stronach prostej y = − 3x + 2 , która zawiera punkty wspólne tych okręgów. Wiedząc, że promień okręgu o2 jest równy  √ -- 7 2 oraz, że okrąg o1 ma równanie (x+ 1)2 + (y− 3)2 = 20 , wyznacz równanie okręgu o 2 .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od szkicowego rysunku.


PIC


Na początku wyznaczmy punkty wspólne podanych: okręgu i prostej. Podstawiamy y = − 3x + 2 do równania okręgu.

(x+ 1)2 + (− 3x+ 2− 3)2 = 20 2 2 (x+ 1) + (− 3x− 1) = 20 x2 + 2x + 1 + 9x2 + 6x + 1 = 20 2 10x + 8x − 18 = 0 / : 4 5 2 9 -x + 2x − --= 0 2 2 Δ = 4+ 4 5 = 49 − 2 − 7 9 − 2 + 7 x = ---5--- = − 5- ∨ x = ---5--- = 1 .

Stąd y = 37 5 i y = − 1 odpowiednio. Zatem punkty przecięcia to A = (− 9, 37) 5 5 oraz B = (1,− 1) .

Kolejna rzecz, którą możemy zrobić, to napisać równanie prostej O 1O 2 przechodzącej przez środki obu okręgów. Prosta ta musi być prostopadła do danej prostej y = − 3x + 2 oraz musi przechodzić przez punkt O 1 = (− 1,3 ) . Szukamy zatem prostej postaci y = 1x+ b 3 – współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu O 1 .

 1 10 3 = − -+ b ⇒ b = --. 3 3

Zatem prosta O O 1 2 ma równanie y = 1x+ 10 3 3 i pozostało znaleźć na niej punkt O 2 , który jest odległy od punktu B = (1 ,−1 ) o  √ -- 7 2 . Powiedzmy, że szukany punkt to O2 = (x ,y) = (x, 13 x+ 130) . Mamy zatem

 ( ) √ --2 2 2 1- 10- 2 (7 2) = BO 2 = (x− 1) + 3 x + 3 + 1 / ⋅9 2 2 882 = 9 (x− 1) + (x + 1 3) 2 2 882 = 9x − 18x + 9+ x + 26x + 169 0 = 10x 2 + 8x − 704 / : 4 0 = 5-+ 2x − 176 2 Δ = 4+ 1 760 = 17 64 = 422 x = −-2-−-42-= − 44- ∨ x = −-2-+-42-= 8. 5 5 5

Pierwszy pierwiastek daje punkt, który leży po tej samej stronie prostej y = − 3x+ 2 co punkt O 1 , a to jest sprzeczne z założeniem. Zatem x = 8 ,

y = 1x + 10-= 18-= 6 3 3 3

oraz O 2 = (8,6) . Możemy teraz napisać szukane równanie okręgu o2 .

(x − 8)2 + (y − 6)2 = 98.

 
Odpowiedź:  2 2 (x − 8) + (y − 6) = 98

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!