/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Bez treści/Działania na zbiorach

Zadanie nr 4828473

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

O zdarzeniach losowych A i B wiadomo, że P (A ∪ B) = 0,9, P (A ∩ B ) = 0,3 i P (A ∪ B ′) = 0 ,5 . Oblicz P (A ′ ∪ B ) .

Rozwiązanie

Sposób I

Zaznaczmy na diagramie Venna zbiory ′ X = A ∪ B i ′ Y = A ∪ B .

PIC

Z obrazka widać, że

P(X ∪ Y) = P(Ω ) = 1 ′ P(X ∩ Y) = P((A ∪ B )) + P (A ∩ B ) = 1− 0,9+ 0,3 = 0,4.

Zatem

P (X ∪ Y) = P(X )+ P(Y )− P (X ∩ Y ) 1 = 0 ,5 + P (Y) − 0,4 P (Y) = 0,9 .

Sposób II

Jak poprzednio zaznaczamy zbiory A ∪ B ′ i A′ ∪ B na diagramie Venna. Z diagramu widzimy, że

P(A ∪ B′) = P (A) + P ((A ∪ B)′) 0,5 = P (A )+ 1 − 0,9 ⇒ P(A ) = 0,4.

Podobnie

′ ′ P (A ∪ B) = P (B) + P ((A ∪ B )) = P (B) + 1− 0,9 = P (B) + 0,1.

Musimy zatem obliczyć P(B ) – nie ma z tym jednak problemu, bo znamy P (A ∪ B ),P(A ∩ B ) i P(A ) . Zatem

P (A ∪ B ) = P(A )+ P(B )− P(A ∩ B ) 0,9 = 0,4+ P(B )− 0 ,3 ⇒ P(B ) = 0,8.

Stąd

P (A′ ∪ B) = P (B) + 0,1 = 0 ,8+ 0,1 = 0,9.

Sposób III

Ponownie rozpoczynamy od naszkicowania diagramu Venna.

PIC

Na mocy wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń mamy

′ ′ ′ P(A ∪ B ) = P (A) + P (B )− P(A ∩ B ) P(A ′ ∪ B ) = P (A′)+ P(B )− P(A ′ ∩ B).

Rzut oka na diagram Venna i możemy te równości przepisać w postaci

P (A ∪ B ′) = P(A )+ P(B ′) − P (A ∖B ) ′ ′ P (A ∪ B) = P(A ) + P (B) − P (B ∖ A ).

Dodajmy teraz te równości stronami

P(A ∪ B ′)+ P (A ′ ∪ B) = = P(A ) + P(A ′)+ P(B ′) + P(B )− [P (A ∖ B) + P (B ∖A )] = = 1+ 1− [P (A ∪ B )− P (A ∩ B )].

Zatem

0,5+ P(A ′ ∪ B ) = 2− [0,9 − 0 ,3 ] ⇒ P (A ′ ∪ B) = 0,9.

 
Odpowiedź: P (A′ ∪ B) = 0,9

Wersja PDF