/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Bez treści/Działania na zbiorach

Zadanie nr 7374529

A i B są takim zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω , że P (A ∖ B) = P (B ∖A ) = 17 i P(A ′ ∪ B ′) = 1 . Oblicz P (A ′ ∩ B ′) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od naszkicowania diagramu Venna.

PIC

Sposób I

Zauważmy, że A ′ ∪ B ′ = Ω ∖ (A ∩ B) . Zatem z podanej informacji P(A ′ ∪ B ′) = 1 wynika, że

1 = P (Ω ∖ (A ∩ B )) 1 = 1 − P (A ∩ B ) P (A ∩ B) = 0.

Zatem A ∩ B = ∅ . Wynika stąd, że

P(A ) = P (A ∖ B) = 1- 7 1- P(B ) = P(B ∖ A ) = 7 .

Ponownie patrzymy na diagram Venna i odczytujemy, że A ′ ∩ B′ = Ω ∖(A ∪ B) . Stąd

P (A ′ ∩ B′) = P (Ω ∖ (A ∪ B)) = 1− P(A ∪ B ) = = 1 − (P (A ) + P (B)− P(A ∩ B)) = 1 − 1-− 1-= 5. 7 7 7

Po drodze skorzystaliśmy ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń.

Sposób II

Zauważmy, ze równość P(A ′ ∪ B ′) = 1 oznacza, że każde zdarzenie jest poza A lub poza B . To oznacza, że nie ma zdarzeń, które są jednocześnie w A i B . Zatem A ∩ B = ∅ i

1 6 P (A ) = P(A ∖B ) = -- ⇒ P(A ′) = -- 7 7 1- ′ 6- P (B) = P(B ∖ A ) = 7 ⇒ P (B ) = 7 .

Znamy P(A ′ ∪ B ′) , a mamy obliczyć (A ′ ∩ B ′) , korzystamy więc ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń.

P (A ′ ∪ B′) = P (A ′)+ P(B ′) − P (A′ ∩ B′) 6 6 1 = --+ --− P (A ′ ∩ B′) 7 7 P (A ′ ∩ B′) = 12-− 1 = 5. 7 7

Sposób III

Korzystamy z praw De Morgana (które łatwo odczytać z diagramu Venna).

P ((A ∪ B )′) = P(A ′ ∩ B′) ′ ′ ′ P((A ∩ B) ) = P(A ∪ B ).

W naszej sytuacji mamy

′ ′ ′ 1 = P (A ∪ B ) = P((A ∩ B) ) ⇒ P(A ∩ B) = 0 .

Zatem A ∩ B = ∅ i

P(A ) = P (A ∖ B) = 1- 7 1- P(B ) = P(B ∖ A ) = 7 .

Stąd

′ ′ ′ P (A ∩ B ) = P ((A ∪ B) ) = 1 − (P (A ∪ B)) = 1 1 5 = 1 − (P (A ) + P (B)− P(A ∩ B)) = 1 − --− --= -. 7 7 7

 
Odpowiedź: P (A′ ∩ B′) = 5 7

Wersja PDF