/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Bez treści/Działania na zbiorach

Zadanie nr 7534735

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że jeśli A ,B są dowolnymi zdarzeniami przestrzeni Ω , to P (A ∪ B ) = P(A )+ P(B )− P(A ∩ B ) .

Rozwiązanie

Jeżeli narysujemy sobie diagram Venna, to widać, że

A = (A ∖B )∪ (A ∩ B) B = (B ∖ A) ∪ (B ∩ A ) A ∪ B = (A ∖B )∪ (B ∖ A )∪ (A ∩ B).

PIC

W wszystkich równościach zbiory po prawej stronie są rozłączne, zatem

P (A) = P(A ∖ B) + P (A ∩ B ) P (B) = P (B ∖A ) + P(A ∩ B) P (A ∪ B) = P(A ∖ B) + P (B ∖A ) + P(A ∩ B).

Mamy stąd

P (A ∪ B ) = P(A ∖B )+ P(B ∖ A )+ P (A ∩ B ) = = P(A )− P(A ∩ B)+ P(B )− P(A ∩ B )+ P(A ∩ B ) = P (A )+ P (B) − P (A ∩ B )
Wersja PDF