/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Romb/Pole

Zadanie nr 9701538

Oblicz pole rombu o obwodzie 68 cm, w którym długości przekątnych różnią się o 14 cm.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy długości przekątnych rombu przez 2x i 2x + 1 4 .

PIC

Ponieważ przekątne rombu dzielą się na połowy oraz są prostopadłe, trójkąt ABS jest prostokątny oraz AS = x+ 7 , BS = x . Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy

x2 + (x+ 7)2 = 172 2 2 x + x + 14x + 49 = 289 2x2 + 14x − 24 0 = 0 / : 2 x2 + 7x − 120 = 0 2 Δ = 49+ 480 = 52 9 = 23 −-7-−-23- −-7+--23- x = 2 < 0 ∨ x = 2 = 8 .

Zatem x = 8 i x + 7 = 15 .

Pole rombu jest cztery razy większe od pola trójkąta ABS (bo wszystkie cztery narysowane trójkąty są przystające), zatem

PABCD = 4PABS = 2x(x + 7 ) = 240.

 
Odpowiedź: 240 cm 2

Wersja PDF