Zadania.info Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Konkursy

Wyszukiwanie zadań

Niech ABCD będzie kwadratem o boku 12 cm. Punkty P , Q , R są odpowiednio środkami boków BC , CD , DA (rysunek obok). Pole zacieniowanego czworokąta jest równe

PIC

A) 96 cm 2 B) 72 cm 2 C) 60 cm 2 D) 54 cm 2 E) 48 cm 2

Na rysunku przedstawiono kwadratową tablicę 4x4 składającą się z 16 kwadracików jednostkowych. Ile jest równa największa możliwa liczba przekątnych, jakie można poprowadzić w tych kwadracikach jednostkowych w ten sposób, aby żadne dwie z nich nie przecinały się, ani nie miały wspólnych końców?

PIC

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

W trójkącie ostrokątnym ABC prawdziwa jest równość 2 2 |BC | − |AC | = |AB |⋅|AC | . Wykaż, że kąt BAC jest dwa razy większy od kąta ABC .

Wyznacz wszystkie liczby naturalne n , dla których n 2 + 1 jest kwadratem liczby naturalnej.

Daniel ma 9 monet, każda o nominale 2 złotych, zaś jego siostra Ania ma 8 monet, każda o nominale 5 złotych. Jaką najmniejszą liczbę monet muszą oni między sobą wymienić, aby mieć równe kwoty?
A) 4 B) 5 C) 8 D) 12 E) Nie da się tego zrobić

Jaka jest najmniejsza liczba całkowita n , dla której liczba

2 2 2 2 (2 − 1) ⋅(3 − 1)⋅ (4 − 1 )⋅...⋅(n − 1 )

jest kwadratem liczby całkowitej?
A) 6 B) 8 C) 16 D) 27 E) Inna odpowiedź

Przekątne czworokąta wypukłego ABCD przecinają się w punkcie E . Wiadomo, że trójkąty ABE i CDE mają równe pola, długość boku AB jest równa 4, a przekątna AC jest zawarta w dwusiecznej kąta A . Oblicz długość boku BC .

Wykaż, że jeżeli α,β ,γ są kątami trójkąta, to

α β γ sinα + sin β + sin γ = 4co s--cos --cos -. 2 2 2

W polach szachownicy 4 × 4 chcemy umieścić pionki w taki sposób, że liczby pionków w każdym wierszu i w każdej kolumnie szachownicy będą różne (w jednym polu można umieścić jeden lub więcej pionków, a także można pozostawić pole puste). Jaka jest minimalna liczba pionków, które można w taki sposób rozmieścić na szachownicy?

PIC

A) 7 B) 10 C) 14 D) 18 E) 28

Pewnego dnia postawiłem dla psów miskę z psimi ciasteczkami. Najpierw przyszedł najstarszy pies i zjadł połowę ciasteczek, i jeszcze jedno. Potem przyszedł drugi pies zjadł połowę tego, co znalazł i jeszcze jedno ciasteczko. Potem przyszedł trzeci pies i także zjadł połowę tego, co znalazł i jeszcze jedno ciasteczko. Wreszcie przyszedł czwarty najmniejszy piesek i zjadł połowę tego, co zostało, i jeszcze jedno ciasteczko, wtedy ciasteczka się skończyły. Ile ich było na początku w misce?

W czworokącie P QRS mamy |P Q| = 2 006 , QR = 2008 , RS = 2007 , SP = 20 09 . Przy których wierzchołkach kąty wewnętrzne czworokąta mają zawsze miarę mniejszą niż 180∘ ?
A) P ,Q,R B) Q ,R,S C) P ,Q ,S D) P ,R ,S E) P ,Q ,R,S

Wyznacz długości boków trójkąta wiedząc, że są one kolejnymi liczbami naturalnymi zaś największy kąt jest dwa razy większy od kąta najmniejszego.

Udowodnij, że dla dowolnych kątów α ,β ∈ R prawdziwe są tożsamości

sin (α+ β) = sinα cos β + sinβ cos α cos(α + β) = co sα cosβ − sin αsin β.

Przez środek D przyprostokątnej BC trójkąta prostokątnego ABC poprowadzono prostą prostopadłą do przeciwprostokątnej AB . Prosta ta przecina proste AB i AC odpowiednio w punktach M i N . Wykaż, że |BC |2 = 4⋅ |DN |⋅ |DM | .

PIC

Ukryj Podobne zadania

Przez środek D przyprostokątnej BC trójkąta prostokątnego ABC poprowadzono prostą prostopadłą do przeciwprostokątnej AB . Prosta ta przecina proste AB i AC odpowiednio w punktach M i N . Wykaż, że skala podobieństwa trójkątów ABC i ANM jest równa -2cosα- 1+cos2α .

PIC

Wykaż, że jeżeli a > 0 i b > 0 oraz √ -- √ -- a + b = b + a to a = b lub √ -- √ -- a + b = 1 .

Ukryj Podobne zadania

Wykaż, że jeżeli liczby dodatnie a i b spełniają warunek

∘ -- a-= b-+-3a-, b a + 3b

to a = b .

W pokoju znajdowała się pewna liczba osób. Ich średni wiek równy był liczbie osób znajdujących się w pokoju. Gdy do pokoju wszedł 29 letni człowiek, okazało się, że średni wiek był równy liczbie osób w pokoju. Ile osób znajdowało się na początku w pokoju?
A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18

Zosia, Marysia i Ania weszły do klasy gdzie na wielkim transparencie były zapisane liczby od 1 do 7777. Zosia zakreśliła na różowo wszystkie liczby podzielne przez 3. Marysia zakreśliła na zielono wszystkie liczby podzielne przez 4. Ania zakreśliła na fioletowo wszystkie liczby podzielne przez 6. Ile liczb zostało zakreślonych dwukrotnie (bez względu na kolor)?

Rakietą podróżowała grupa kosmitów. Każdy z nich ubrany był w kombinezon w jednym z trzech kolorów: zielonym, pomarańczowym, niebieskim. Każdy ubrany na zielono kosmita miał dwa czułki, każdy ubrany na pomarańczowo miał trzy czułki, a każdy ubrany na niebiesko miał pięć czułków. Wszystkich kosmitów ubranych na zielono było tylu, ilu ubranych na pomarańczowo, a ubranych na niebiesko było o 10 więcej niż ubranych na zielono. Wszyscy razem mieli 250 czułków. Ilu ubranych na niebiesko kosmitów podróżowało rakietą?
A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 40

Trzy koła o promieniu 1 są parami styczne zewnętrznie. Oblicz pole obszaru zawartego między tymi kołami.

Ramiona kąta o mierze ∘ 60 przecięto prostą k prostopadłą do jednego z ramion kąta i wpisano dwa koła styczne do obu ramion tego kąta i prostej k . Oblicz stosunek pól tych kół.

Strona 18 z 29