Konkursy - zadania z matematyki - Zadania.info, 7, strona 19

Wykaż, że jeżeli liczby całkowite i spełniają równanie

2 2 a = 3b + 9

to liczba dzieli się przez 3, a liczba nie dzieli się przez 9.

Prostokąt, który widzimy obok na rysunku, podzielono na 7 kwadratów. Bok każdego z zacieniowanych kwadratów ma długość 8. Jaką długość ma bok dużego białego kwadratu?

A) 16 B) 18 C) 20 D) 24 E) 30

Narysuj przekrój równoległościanu płaszczyzną PQR .

Jacek powiedział, że 25% jego książek to opowiadania, a 1 9 to poezje. Wiadomo, że ma on co najmniej 50 książek, ale nie więcej niż 100. Ile książek ma Jacek?
A) 50 B) 56 C) 64 D) 72 E) 93

W kryptogramie różnym literom odpowiadają różne cyfry. Podaj rozwiązanie.

G R A D ---+---D---E--S---Z--C---Z-- S T R A T A

Na okręgu o środku wybrano punkty A ,B,C i w ten sposób, że prosta zawiera punkt , a proste i przecinają się w punkcie . Punkt jest punktem wspólnym prostych i . Wykaż, że proste i są prostopadłe.

Dla jakich należących do zbioru liczb naturalnych liczba 2 n + 4n − 8 jest kwadratem liczby naturalnej?

Rozwiąż nierówność 232−322 10 21 216+ 32 x > 2 − 2 . Podaj najmniejszą liczbę całkowitą spełniającą tę nierówność.

Ile jest liczb naturalnych, o sumie cyfr równej 10, w których zapisie mogą występować tylko cyfry 1 lub 3?
A) 28 B) 34 C) 35 D) 55 E) 56

Dodatnia liczba naturalna jest najmniejszą liczbą taką, że 1 0a jest kwadratem pewnej liczby naturalnej, a sześcianem pewnej liczby naturalnej. Ile różnych dzielników ma liczba ?
A) 30 B) 40 C) 54 D) 72 E) 96

Czworo przyjaciół zamierza na przyjęciu dać sobie nawzajem prezenty w taki sposób, że każdy da tylko jednej osobie prezent, i każdy otrzyma prezent tylko od jednej osoby (oczywiście nikt nie daje prezentu sobie). Na ile sposobów można to zrobić?
A) 9 B) 10 C) 12 D) 16 E) 24

Udowodnij, że jeżeli 1 1 1 ---1-- a + b + c = a+b +c to 3 3 3 3 3 3 (a + b )(b + c )(c + a ) = 0 .

Na bokach , i trójkąta ABC wybrano odpowiednio punkty D ,E i . Wykaż, że okręgi opisane na trójkątach ADF , BED i CF E przecinają się w jednym punkcie.

Oblicz długość boku rombu wiedząc, że prosta poprowadzona przez jeden z jego wierzchołków odcina na przedłużeniach dwóch jego boków odcinki o długościach 4 i 9.

Ile czterocyfrowych liczb, których wszystkie cztery cyfry są różne, dzieli się przez 2006?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Dwa wzajemnie styczne okręgi o równych promieniach mają środki w dwóch przeciwległych wierzchołkach kwadratu. Kolejne dwa okręgi, o środkach w pozostałych wierzchołkach kwadratu, są styczne zewnętrznie do każdego z dwóch poprzednich okręgów (patrz rysunek). Ile razy promień większego okręgu jest większy od promienia mniejszego okręgu?

A) √ -- 1 + 2 B) C) √ -- 5 D) 2,5 E) 0,8π

Kangur wymyślił nowe działanie w zbiorze liczb naturalnych dodatnich. Podał kilka przykładów: 2 ∗ 3 = (2+ 1)⋅3 = 9 ; 4 ∗2 = (4+ 3+ 2+ 1)⋅2 = 20 ; 3 ∗ 5 = (3+ 2+ 1)⋅5 = 30 . Jaki jest wynik działania 6∗ 5 ?
A) 30 B) 90 C) 105 D) 210 E) 315

Udowodnij, że dla dowolnych liczb a,b,c ∈ R + zachodzi nierówność

( 1 1 1) (a + b+ c) --+ -+ -- ≥ 9. a b c

W prostokąt ABCD wpisany jest trójkąt równoboczny AKL (patrz rysunek). Wierzchołek leży na boku ( K ⁄= B i K ⁄= C ), wierzchołek leży na boku ( L ⁄= D i L ⁄= C ). Udowodnij, że pole powierzchni trójkąta KLC równe jest sumie pól trójkątów ABK i DLA .