Konkursy - zadania z matematyki - Zadania.info, 7, strona 20

Dany jest prostokąt ABCD . Okrąg wpisany w trójkąt BCD jest styczny do przekątnej w punkcie . Okrąg wpisany w trójkąt ABD jest styczny do boku w punkcie , a środek tego okręgu leży na odcinku , jak na rysunku.

Wykaż, że |MN | = |AD | .

W półkolu o średnicy |AB | = 2R narysowano dwa przystające i zewnętrznie styczne półkola o 1,o 2 , których środki leżą na odcinku , i które są wewnętrznie styczne do półkola . Oblicz promień okręgu , który jest styczny do o ,o 1 2 i .

Na ile sposobów można zapłacić 250 zł monetami 1,2 i 5 złotowymi?

Jeżeli -2x-- f (x) = 3x+4 oraz f (g(x)) = x , to
A) g(x ) = 3x2+x4- B) g (x) = 23xx+-4 C) 2x+4- g(x) = 4x D) --4x-- g(x) = 2− 3x E) g(x) = 2−43xx-

W trójkącie prostokątnym ABC o kącie prostym w wierzchołku obrano taki punkt , że pola trójkątów PAB , PBC i PAC są równe. Oblicz długość odcinka , wiedząc, że |PA |2 + |PB |2 = m .

W grze losowej wygrywają kupony o numerach co najmniej 5-cyfrowych, w których co najwyżej 3 cyfry są większe od 2. Ile jest kuponów wygrywających wśród kuponów o numerach 1022, 22222, 102334, 213343, 3042531?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Dana jest kula o promieniu 3 i o środku w początku układu współrzędnych. Ile punktów na powierzchni tej kuli ma wszystkie współrzędne całkowite?
A) 30 B) 24 C) 12 D) 6 E) 3

Czarek myśli, że każdy trójkąt równoramienny jest ostrokątny. Który z poniższych przykładów pokazuje, że Czarek nie ma racji?

W trójkącie ABC miara kąta wewnętrznego przy wierzchołku jest równa 20 ∘ , a miara kąta wewnętrznego przy wierzchołku jest równa 4 0∘ . Ponadto długość dwusiecznej kąta przy wierzchołku jest równa 2. Ile wynosi różnica |BC |− |AB | ?
A) 1 B) 1,5 C) 2 D) 4 E) Nie można jej jednoznacznie wyznaczyć.

Znajdź wszystkie liczby naturalne takie, że liczba 4 n + 4 jest liczbą pierwszą.

Punkt jest środkiem pięciokąta foremnego. Jaką częścią pięciokąta jest zacieniowany obszar?

A) 10% B) 20% C) 25% D) 30% E) 40%

Wódz indiański wysłał trzech zwiadowców na zachód, północ i wschód. Każdy z nich oddalił się o 5 km od obozu i miał w zasięgu wzroku teren o promieniu 5 km.

Jaki obszar kontrolują zwiadowcy?
O ile zmniejszy się kontrolowany teren, jeśli jeden ze zwiadowców zostanie pojmany przez wrogie plemię? (Rozpatrz dwa przypadki)

Na zewnątrz równoramiennego trójkąta prostokątnego zbudowano kwadraty – jeden na przyprostokątnej, a drugi na przeciwprostokątnej. Wykaż, że przeciwprostokątna dzieli odcinek łączący środki kwadratów na dwie równe części.

W prostokącie ABCD wierzchołek połączono odcinkami ze środkami i boków i , zaś i to punkty przecięcia tych odcinków z przekątną .

Uzasadnij, że odcinki i są jednakowej długości.
Uzasadnij, że trójkąty i mają równe pola.

Pokazać, że dla każdej liczby całkowitej liczba 5 n − n jest podzielna przez 30.

Znajdź wszystkie funkcje f : R → R , dla których zachodzi równość 2f (x)+ f(1 − x) = x .

Statek wycieczkowy, płynąc z prądem rzeki, pokonuje trasę z miasta do miasta w ciągu dwóch godzin, natomiast z powrotem płynie o pół godziny dłużej. Ile czasu będzie płynąć tratwa z miasta do miasta ?

3–piramida to stos utworzony z trzech warstw kul przedstawionych na rysunku. W ten sam sposób otrzymujemy 4–piramidę, 5-piramidę, itd.

Gdy usuniemy wszystkie kule „ścian bocznych” i „podstawy” 8-piramidy, to otrzymamy

A) 3–piramidę B) 4–piramidę C) 5–piramidę D) 6–piramidę E) 7–piramidę

Wykaż, że jeżeli a,b,c są długościami boków trójkąta leżącymi naprzeciwko odpowiednio kątów o miarach α ≤ β ≤ γ to a ≤ b ≤ c .

Na okręgu rozmieszczono liczby: 1,2,3. Pomiędzy każde dwie sąsiednie liczby wpisano ich sumy, otrzymując na okręgu sześć liczb 1,3,2,5,3,4. Operację wpisywania sum liczb sąsiednich powtórzono jeszcze trzy razy. W rezultacie otrzymano na okręgu 48 liczb. Ile wynosi ich suma?
A) 162 B) 1458 C) 486 D) 144 E) 210

Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Konkursy