Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4337229

Wewnątrz kąta o mierze  ∘ 60 leży punkt S . Odległość tego punktu od ramion kąta wynosi odpowiednio  √ -- 4 6 i √ -- 6 . Oblicz odległość tego punktu od wierzchołka kąta.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku i przyjmijmy oznaczenia  √ -- SA = 4 6 ,  √ -- SB = 6 .


PIC


Sposób I

Zauważamy, że jeżeli przedłużmy odcinek AS tak, aby przeciął drugie ramię kąta, powiedzmy w punkcie E , to w otrzymanym trójkącie prostokątnym BES znamy kąt ∡BES = 90∘ − ∡AOE = 30∘ oraz przyprostokatną BS = √ 6- . Możemy więc obliczyć długość przeciwprzyprostokątnej

BS- ∘ 1- √ -- SE = sin 30 = 2 ⇒ SE = 2BS = 2 6.

Teraz już łatwo, mamy  √ -- AE = AS + SE = 6 6 . Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny AOE – znamy w nim jeden kąt i przyprostokątną. Możemy więc policzyć drugą przyprostokątną

 √ -- √ -- √ -- OA-- = tg 30∘ = --3- ⇒ OA = --3AE = 6 2. AE 3 3

Pozostało policzyć długość odcinka OS z trójkąta prostokątnego AOS .

 ∘ ------------ √ ------------- √ -------- √ --- OS = OA 2 + SA 2 = 36⋅ 2+ 16⋅6 = 2 18 + 24 = 2 42.

Sposób II

Tym razem przyjrzyjmy się czworokątowi AOBS . Ponieważ ma on dwa przeciwległe kąty proste, można na nim opisać okrąg. Dokładniej, okrąg ten to okrąg o średnicy OS (bo ∡OAS = ∡OBS = 90∘ ). Mmusimy zatem obliczyć średnicę okręgu opisanego na czworokącie AOBS . Jak to zrobić? – najprościej z twierdzenia sinusów, do tego musimy jednak znać bok i przeciwległy kąt w którymkolwiek z trójkątów utworzonych przez wierzchołki tego czworokąta. Chwila zastanowienia i wiadomo co robić – w trójkącie ASB znamy kąt ∡ASB = 180∘ − ∡AOB = 120∘ i łatwo możemy wyliczyć bok AB . Liczymy (z twierdzenia cosinusów).

 ∘ ---2------2--------------------∘ AB = ∘ AS---+-SB--−--2AS-⋅ SB ⋅cos 120 = 1 √ ---- = 16 ⋅6 + 6 + 8 ⋅6⋅ --= 12 6. 2

Pozostało skorzystać z twierdzenia sinusów

 AB ---------- = 2R = OS sin ∡ASB √ --- OS = AB ⋅√2--= 2 42. 3

 
Odpowiedź:  √ --- 2 42

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!