Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7651016

Do obszaru kąta ostrego o mierze α należy punkt S , którego odległości od ramion kąta są równe a i b . Oblicz odległość punktu S od wierzchołka kąta.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku i przyjmijmy oznaczenia SA = a , SB = b .


PIC


Sposób I

Zauważamy, że jeżeli przedłużymy odcinek AS tak, aby przeciął drugie ramię kąta, powiedzmy w punkcie E , to w otrzymanym trójkącie prostokątnym BES znamy kąt ∡BES = 90∘ − α oraz przyprostokątną BS = b . Możemy więc obliczyć długość przeciwprostokątnej

BS- ∘ -BS-- --b-- SE = sin (90 − α) = cos α ⇒ SE = co sα = cos α.

Teraz już łatwo, mamy AE = AS + SE = a+ cbosα . Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny AOE – znamy w nim jeden kąt i przyprostokątną. Możemy więc policzyć drugą przyprostokątną

OA b acos α+ b ---- = ctg α ⇒ OA = (a + -----) ctg α = ----------. AE cos α sin α

Pozostało policzyć długość odcinka OS z trójkąta prostokątnego AOS .

 ∘ ------------------------------ ∘ ------------ 2 2 2 OS = OA 2 + SA 2 = a--cos-α-+-2ab-cos-α+--b-+ a2 = sin 2α ∘ ------------------------------------ √ ------------------- a2co-s2α-+-2ab-cosα-+--b2 +-a2-sin-2α --a2-+-2ab-cosα-+-b2- = sin2α = sinα

Sposób II

Tym razem przyjrzyjmy się czworokątowi AOBS . Ponieważ ma on dwa przeciwległe kąty proste, można na nim opisać okrąg. Dokładniej, okrąg ten to okrąg o średnicy OS (bo  ∘ ∡OAS = ∡OBS = 90 ). Musimy zatem obliczyć średnicę okręgu opisanego na czworokącie AOBS . Jak to zrobić? – najprościej z twierdzenia sinusów, do tego musimy jednak znać bok i przeciwległy kąt w którymkolwiek z trójkątów utworzonych przez wierzchołki tego czworokąta. Chwila zastanowienia i wiadomo co robić – w trójkącie ASB znamy kąt ∡ASB = 180∘ − α i łatwo możemy wyliczyć bok AB . Liczymy (z twierdzenia cosinusów).

 ∘ -------------------------------------- AB = AS 2 + SB 2 − 2AS ⋅SB ⋅cos(1 80∘ − α) = ∘ ------------------- = a2 + b2 + 2ab cosα .

Pozostało skorzystać z twierdzenia sinusów

---AB----- sin ∡ASB = 2R = OS √ -2----2------------ OS = AB---= --a-+--b-+--2abco-sα. sin α sin α

 
Odpowiedź: √ ------------- --a2+-2abcosα+b-2 sinα

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!