Do obszaru kąta ostrego o mierze α należy punkt S, którego... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Różne, 7651016

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Różne

Zadanie nr 7651016

Do obszaru kąta ostrego o mierze $α$ należy punkt $S$ , którego odległości od ramion kąta są równe $a$ i $b$ . Oblicz odległość punktu $S$ od wierzchołka kąta.

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku i przyjmijmy oznaczenia $SA = a$ , $SB = b$ .

Sposób I

Zauważamy, że jeżeli przedłużymy odcinek $AS$ tak, aby przeciął drugie ramię kąta, powiedzmy w punkcie $E$ , to w otrzymanym trójkącie prostokątnym $BES$ znamy kąt $∡BES = 90∘ − α$ oraz przyprostokątną $BS = b$ . Możemy więc obliczyć długość przeciwprostokątnej

BS- ∘ -BS-- --b-- SE = sin (90 − α) = cos α ⇒ SE = co sα = cos α.

Teraz już łatwo, mamy $AE = AS + SE = a+ cbosα$ . Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny $AOE$ – znamy w nim jeden kąt i przyprostokątną. Możemy więc policzyć drugą przyprostokątną

OA b acos α+ b ---- = ctg α ⇒ OA = (a + -----) ctg α = ----------. AE cos α sin α

Pozostało policzyć długość odcinka $OS$ z trójkąta prostokątnego $AOS$ .

∘ ------------------------------ ∘ ------------ 2 2 2 OS = OA 2 + SA 2 = a--cos-α-+-2ab-cos-α+--b-+ a2 = sin 2α ∘ ------------------------------------ √ ------------------- a2co-s2α-+-2ab-cosα-+--b2 +-a2-sin-2α --a2-+-2ab-cosα-+-b2- = sin2α = sinα

Sposób II

Tym razem przyjrzyjmy się czworokątowi $AOBS$ . Ponieważ ma on dwa przeciwległe kąty proste, można na nim opisać okrąg. Dokładniej, okrąg ten to okrąg o średnicy $OS$ (bo $∘ ∡OAS = ∡OBS = 90$ ). Musimy zatem obliczyć średnicę okręgu opisanego na czworokącie $AOBS$ . Jak to zrobić? – najprościej z twierdzenia sinusów, do tego musimy jednak znać bok i przeciwległy kąt w którymkolwiek z trójkątów utworzonych przez wierzchołki tego czworokąta. Chwila zastanowienia i wiadomo co robić – w trójkącie $ASB$ znamy kąt $∡ASB = 180∘ − α$ i łatwo możemy wyliczyć bok $AB$ . Liczymy (z twierdzenia cosinusów).