/Studia/Analiza/Ciągi/Granice/Wykładnicze

Zadanie nr 3614519

Oblicz granicę ( )n 2 lim 1 − -√1- n→ +∞ 2 n .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Gdybyśmy mieli

( )2√n- lim 1− -√1-- n→ +∞ 2 n

to granica byłaby e−1 . Mamy jednak w wykładniku n 2 co zbiega znacznie szybciej do + ∞ niż √n-- . Powinno być więc widać, że ciąg jest zbieżny do 0 (bo −1 e < 1 !). Aby to porządnie uzasadnić zapiszmy

( √- ) n√2- ( 1 )n 2 ( 1 ) 2 n 2n 1 − -√--- = 1 − -√--- . 2 n 2 n

Jak już zauważyliśmy, ciąg w nawiasie zbiega do e− 1 ≈ 0,37 zatem od pewnego miejsca wszystkie jego wyrazy będą mniejsze od 1 2 , co daje nam nierówność

(( ) √-) -n√2 ( ) n2- 1 2 n 2 n 1 2√n- 0 < 1 − -√--- < 2- . 2 n

Prawa strona zbiega do 0, więc środkowy ciąg też.  
Odpowiedź: 0

Wersja PDF