Zadanie nr 7321941

Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji x2+-1 f (x) = x−3 określonej dla x ⁄= 3 .

Rozwiązanie

Obliczamy pochodną funkcji - skorzystamy ze wzoru:

( ) ′ ′ ′ f- = f-g−--fg-. g g2

Mamy zatem

2 ′ 2 ′ f′(x) = (x-+--1)(x-−-3)-−-(x--+-1)(x-−-3-)-= (x− 3)2 2 2 = 2x(x-−-3)-−-(x--+-1)-= x-−--6x-−-1. (x− 3)2 (x − 3)2

Mianownik tego wyrażenia jest zawsze dodatni. Rozkładamy jego licznik

Δ = 36 + 4 = 40 √ --- √ --- √ --- √ --- x = 6-−-2---10 = 3 − 10 lub x = 6-+-2---10 = 3 + 10 2 2

Zatem

( ) ( ) x − (3 − √ 10) x − (3 + √ 1-0) f′(x) = ----------------------------------. (x− 3)2

To oznacza, że pochodna jest dodatnia w przedziałach

√ --- √ --- (− ∞ ,3− 10) i (3 + 10,+ ∞ )

oraz ujemna w przedziałach

√ --- √ --- (3 − 10,3 ) i (3,3 + 10).

Funkcja jest więc rosnąca w przedziałach

√ --- √ --- (− ∞ ,3− 10⟩ i ⟨3 + 10,+ ∞ )

oraz malejąca w

√ --- √ --- ⟨3 − 10,3 ) i (3,3 + 10⟩.

Na koniec dla ciekawskich wykres funkcji .

Odpowiedź: Ros. w √ --- (− ∞ ,3− 1 0⟩ , ⟨3 + √ 10,+ ∞ ) , mal. w ⟨3 − √ 10,3) i (3,3 + √ 1-0⟩ .