/Studia/Analiza/Funkcje

Zadanie nr 9301781

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz z definicji pochodną funkcji n√ -- f(x) = x , gdzie n ∈ N + .

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia

n n n−1 n−2 n− 3 2 n− 2 n−1 (a − b ) = (a− b )(a + a b + a b + ⋅⋅⋅+ ab + b ).

Liczymy pochodną w punkcie x0 .

√ -- √ --- ′ f(x )− f (x0) n x− n x0 f (x0) = xli→mx ---x-−-x----- = xl→imx ---x−--x--- = 0 0 0 n√ -- 0√ --- --------------------------x−--n-x0------------------------ = xli→mx 0(√nx − n√x-0)(( n√ x)n− 1 + (√nx )n−2√nx-0-+ ⋅⋅⋅ + (√nx-0)n− 1) = = lim -√-----------√-------1√-------------√------- = -∘-1----. x→x 0( nx )n−1 + ( n x)n− 2 n x0 + ⋅⋅⋅+ ( n x0)n−1 n n xn−1 0

 
Odpowiedź: ′ -√1---- f (x) = nnxn−1

Wersja PDF