Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR

Ciąg geometryczny

Definicja Ciąg (an ) nazywamy geometrycznym jeżeli iloraz każdych dwóch jego kolejnych wyrazów jest stały (nie zależy od n ). W języku wzorów piszemy, że istnieje liczba q ⁄= 0 , dla której

a = qa , dla n ≥ 1. n+1 n

Liczbę q nazywamy ilorazem ciągu (a ) n .

Ciąg stały

(a,a,a,a,...)

jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q = 1 .

Ciąg naprzemienny

(a,−a ,a,−a ,...)

jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q = − 1 .

Ciągi

(1,2,4,8,16,32 ,...) (1,3,9,27,81,2 43,...) ( 1 1 1 1 1 ) 1,-, -,--,--,---,... ( 2 4 8 16 3 2 ) 1- 1- -1- 1-- -1-- 1,− 3, 9,− 27 ,81,− 24 3,... .

kolejnych potęg  1 1 2,3,2,− 3 są ciągami geometrycznymi o ilorazach odpowiednio 2 ,3 , 12,− 13 .

Ciągi skończone

(8,1∘2,18-,27) (4, log 16,log 2) (tgα ,− 1,ctg α).

są geometryczne (z ilorazmi  √ ---- 3,--log2,− -1- 2 2 tgα odpowiednio).

Ciągi

(1,2,3 ,4 ,5,...) (1,4,9 ,1 6,25,...) (2,4,− 8,1 6,32,− 64,128,2 56,− 512,...)

nie są geometryczne, bo iloraz kolejnych wyrazów zależy od tego, które wyrazy przez siebie dzielimy (nie jest stały).

Dlaczego geometryczny? Dlaczego ciąg o stałych ilorazach kolejnych wyrazów nazywamy ciągiem geometrycznym? Powodem jest bardzo użyteczna charakteryzacja takiego ciągu:

Ciąg o wyrazach dodatnich jest ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz, z wyjątkiem pierwszego (i ostatniego jeżeli ciąg jest skończony) jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich.

W języku wzorów piszemy

an = √a----a----, dla n ≥ 2. n−1 n+ 1

Wykluczenie z powyższego warunku wyrazów pierwszego i ostatniego powinno być oczywiste – każdy z tych wyrazów ma tylko jednego sąsiada.

Ciąg (4 ,9,16) nie jest geometryczny bo

√ ------ 4⋅ 16 = 8 ⁄= 9 .

Aby sprawdzić, czy ciąg (8,12,18,27 ) jest geometryczny wystarczy sprawdzić prawdziwość dwóch równości

√ ------ √ ---- 8⋅18 = 144 = 1 2 √ ------- √ ---- 12⋅2 7 = 324 = 18.

Wzory Z definicji ciągu geometrycznego

an+1 = qan, dla n ≥ 1.

widać, że każdy kolejny wyraz powstaje z poprzedniego przez pomnożenie przez liczbę q . To oznacza, że cały ciąg jest wyznaczony przez swój pierwszy wyraz a1 i iloraz q . Można to nawet powiedzieć dokładniej: n -ty wyraz powstaje z pierwszego przez mnożenie n − 1 razy przez iloraz q (bo drugi powstaje przez mnożenie przez q , trzeci przez mnożenie przez q 2 itd.). Daje to nam wzór na n -ty wyraz ciągu geometrycznego.

 n− 1 an = a1q .

Ile jest równy 1 4 wyraz ciągu geometrycznego

 1 5 45 135 305 5,− ---,---,− ---, ---,... 2 4 8 16

Gdy się przyjrzymy to powinno być widać, że mamy do czynienia z ciągiem geometrycznym o ilorazie  3 q = − 2 . Zatem

 ( ) 13 13 a14 = a1q13 = 5 ⋅ − 3- = − 5 ⋅ 3-. 2 213

Obliczmy iloraz ciągu geometrycznego (an) , w którym a129 = − 5 i a126 = 40 .
Ze wzoru na n -ty wyraz ciągu geometrycznego mamy

− 5 = a = a q128 129 1 40 = a 126 = a 1q 125

Dzieląc pierwszą równość przez drugą mamy

− 5 1 a q128 1 ----= − --= -1---- = q3 ⇒ q = − -. 40 8 a1q125 2

Jest jeszcze jeden wzór do zapamiętania, mianowicie wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, w którym q ⁄= 1 .

 1−--qn- Sn = a1 + a2 + ⋅⋅⋅+ an = a1 ⋅ 1 − q .

Obliczmy sumę 100 początkowych wyrazów ciągu  ( )n −1 an = − 1 3 .
Ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym z a 1 = 1 i  1 q = − 3 , zatem

 ( ) 100 1− − 1 1− -1- S100 = -----(-3-)---= ----3100-= 3-− ---1--. 1− − 1 43 4 4 ⋅399 3

Uzasadnijmy, że każdy wyraz ciągu  n− 1 an = 2 jest o 1 większy od sumy wszystkich poprzednich wyrazów.
Ciąg an jest ciągiem geometrycznym z a1 = 1 i q = 2 . Zatem

 1−--2n−1- n−1 Sn− 1 = 1− 2 = 2 − 1 = an − 1 .

Monotoniczność Dość oczywista własność, ale wyraźnie to napiszemy, bo czasem pojawia się w sformułowaniach zadań. Niech (an) będzie ciągiem geometrycznym o ilorazie q ⁄= 0 . Wtedy

  • ciąg (an ) jest rosnący wtedy i tylko wtedy, gdy a1 > 0 i q > 1 , lub a1 < 0 i 0 < q < 1 ;
  • ciąg (an ) jest malejący wtedy i tylko wtedy, gdy a1 > 0 i 0 < q < 1 , lub a < 0 1 i q > 1 ;
  • ciąg (an ) jest stały wtedy i tylko wtedy, gdy a1 = 0 lub q = 1 ;
  • nie jest monotoniczny w pozostałych przypadkach.

Pierwszy z ciągów geometrycznych

( ) − 1-,− 1,− 1-,... 2 4 8 ( 1 1 1 ) --,-,---,... 3 9 2 7

jest rosnący, a drugi malejący.

Ciąg geometryczny

( ) 1-,− 1, 1-,− 1-,... 2 4 8 16

nie jest monotoniczny.

Nie chcesz się rejestrować ani opłacać abonamentu? Zapłać przelewem 6,90 zł lub telefonicznie 8,90 zł, a otrzymasz dwudziestominutowy dostęp do wszystkich materiałów dostępnych w portalu.