/Studia/Algebra liniowa/Przestrzenie liniowe/W R^n

Zadanie nr 7364638

Czy zbiór V jest podprzestrzenią liniową przestrzeni 2n R ? Jeśli tak to znaleźć jej bazę.

V = { (x1,...,x2n) ∈ R 2n : x 1 = 2x2,x3 = 2x 4,...,x2n−1 = 2x 2n}.
Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Musimy się zastanowić, czy podany zbiór V jest zamknięty ze względu sumę i mnożenie przez skalar. Aby nie mieć dwóch warunków, będziemy sprawdzać, czy

αv + βw ∈ V ,

gdzie α,β ∈ R i v,w ∈ V .

Jeżeli

v = (2v 2,v 2,2v4,v4...,2v 2n ,v2n),w = (2w 2,w 2,2w 4,w4,...,2w 2n,w 2n ) ∈ V

to

αv + βw = = (2(αv 2 + βw 2),αv2 + βw 2,...,2(αv2n + βw 2n),αv2n + βw 2n) ∈ V .

Przy wyznaczaniu bazy będziemy korzystać z bazy standardowej:

e = (1,0,...,0) 1 e2 = (0,1,...,0) ... e2n = (0,0,...,1).

Bazą przestrzeni V jest układ wektorów

f1 = 2e1 + e2,f2 = 2e3 + e4,...,fn = 2e2n− 1 + e2n.

Sprawdźmy, że układ ten jest liniowo niezależny

0 = α1f1 + α2f2 + ⋅⋅⋅ + αnfn 0 = 2α e + α e + ⋅⋅⋅+ 2α e + α e . 11 1 2 n 2n− 1 n 2n

Z liniowej niezależności e1,e2,...,e2n mamy α1 = α2 = ...= αn = 0 , co dowodzi liniowej niezależności wektorów f1,...,fn .

Pozostało sprawdzić, że generują one V . Dla dowolnego

v = (2v 2,v2,2v4,v4,...,2v2n,v2n) ∈ V

mamy

v = v 2f1 + v 4f2 + ⋅⋅ ⋅+ v2nfn.

Sposób II

Tym razem skorzystamy z faktu, że jądro odwzorowania liniowego jest podprzestrzenią liniową. W ten sposób łatwo możemy pokazywać, że zbiory wektorów tworzą podprzestrzenie.

Takie podejście ma jeszcze jedną zaletę, bo ze wzoru

2n dim im f + d im kerf = dim R = 2n .

będziemy wiedzieć jaki jest wymiar przestrzeni V . W wszystkich poniższych przykładach f będzie ’na’, więc

d im kerf = 2n − d im im f.

Dzięki temu znajdując bazę nie musimy sprawdzać, czy jej wektory są liniowo niezależne – wystarczy tylko, żeby generowały V i żeby była ich odpowiednia ilość.

Rozpatrzmy odwzorowanie liniowe

2n n f : R → R

dane wzorem

f(x1,...,x2n) = (x 1 − 2x 2,x3 − 2x4,...,x2n−1 − x2n)

Jego jądro to dokładnie wektory spełniające warunek

x1 = 2x 2,x 3 = 2x4,...,x2n− 1 = 2x2n

Jest jasne, że to odwzorowanie jest ’na’, więc

d im V = dim ker f = 2n − n = n.

Bazę wyznaczamy jak w poprzednim sposobie, ale nie musimy sprawdzać liniowej niezależności wektorów.

Sposób III

Jeszcze inny sposób to skorzystanie z ogólnego faktu, że rozwiązania jednorodnego układu równań tworzą podprzestrzeń liniową. Wszystkie podane podprzestrzenie są tego typu. Używając tej metody można również wyznaczyć wektory bazowe jako rozwiązania podstawowe odpowiedniego układu równań.  
Odpowiedź: Baza: f1 = 2e 1 + e2,f2 = 2e3 + e4,...,fn = 2e2n− 1 + e2n

Wersja PDF