/Studia/Algebra liniowa/Przestrzenie liniowe/W R^n

Zadanie nr 9363913

Czy zbiór V jest podprzestrzenią liniową przestrzeni 2n R ? Jeśli tak to znaleźć jej bazę.

V = {(x 1,... ,x 2n) ∈ R2n : x1 = 2x2}.
Wersja PDF

Rozwiązanie

Musimy się zastanowić, czy podany zbiór V jest zamknięty ze względu sumę i mnożenie przez skalar. Aby nie mieć dwóch warunków, będziemy sprawdzać, czy

αv + βw ∈ V ,

gdzie α,β ∈ R i v,w ∈ V .

Jeżeli

v = (2v 2,v2,v3,...,v2n),w = (2w 2,w 2,w 3,...,w2n) ∈ V

to

αv + βw = (2αv ,αv ,αv ,...,αv )+ (2βw ,βw ,βw ,...,βw ) = 2 2 3 2n 2 2 3 2n (2(αv2 + βw 2),αv2 + βw 2,αv 3 + βw 3,...,αv 2n + βw 2n ) ∈ V .

Przy wyznaczaniu bazy będziemy korzystać z bazy standardowej:

e1 = (1,0,...,0) e2 = (0,1,...,0) ... e2n = (0,0,...,1).

Bazą przestrzeni V jest układ wektorów

e = (2,1,0,0...,0),e ,e ,...,e . 3 4 2n

Łatwo sprawdzić, że jest on liniowo niezależny (bo e ⁄∈ lin {e ,e ,...,e } 3 4 2n ), oraz dla dowolnego v = (2v 2,v2,v3,...,v2n) ∈ V mamy

v = v2e+ v3e3 + ⋅⋅ ⋅+ v2ne2n.

Sposób II

Tym razem skorzystamy z faktu, że jądro odwzorowania liniowego jest podprzestrzenią liniową. W ten sposób łatwo możemy pokazywać, że zbiory wektorów tworzą podprzestrzenie.

Takie podejście ma jeszcze jedną zaletę, bo ze wzoru

dim im f + d im kerf = dim R 2n = 2n .

będziemy wiedzieć jaki jest wymiar przestrzeni V . W wszystkich poniższych przykładach f będzie ’na’, więc

d im kerf = 2n − d im im f.

Dzięki temu znajdując bazę nie musimy sprawdzać, czy jej wektory są liniowo niezależne – wystarczy tylko, żeby generowały V i żeby była ich odpowiednia ilość.

Rozpatrzmy odwzorowanie liniowe

f : R 2n → R

dane wzorem

f(x 1,...,x2n) = x1 − 2x2.

Jego jądro to dokładnie wektory spełniające warunek x = 2x 1 2 . Jest jasne, że to odwzorowanie jest ’na’, więc

d im V = dim k erf = 2n − 1.

Bazę wyznaczamy jak poprzednio, ale nie musimy sprawdzać liniowej niezależności wektorów.

Sposób III

Jeszcze inny sposób to skorzystanie z ogólnego faktu, że rozwiązania jednorodnego układu równań tworzą podprzestrzeń liniową. Wszystkie podane podprzestrzenie są tego typu. Używając tej metody można również wyznaczyć wektory bazowe jako rozwiązania podstawowe odpowiedniego układu równań.

Wersja PDF