/Studia/Algebra liniowa/Układy równań/Rozwiąż układ

Zadanie nr 1176946

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Znaleźć rozwiązanie układu równań A (x) = b , dla:

⌊ 2 3 1 2 1 4 ⌋ ⌊1⌋ | | | | A = | 1 4 1 2 1 2 | , b = |3| ⌈ 0 5 3 0 3 − 2⌉ ⌈5⌉ 6 8 2 3 7 1 9

Rozwiązanie

Będziemy rozwiązywać układy zapisując je w macierzy – dzięki temu nie będziemy musieli pisać niewiadomych (które i tak nie są do niczego potrzebne). Będziemy dążyć do uzyskania kolumn z jedną niezerową liczbą i samymi zerami (będziemy je oznaczać na niebiesko). Taka kolumna oznacza, że odpowiadająca jej niewiadoma występuje tylko w jednym równaniu i możemy ją z tego równania wyliczyć w zależności od pozostałych niewiadomych. Gdy już nie da się tej operacji kontynuować (ilość niebieskich kolumn jest równa ilości równań) to pozostałe niewiadome traktujemy jak parametry. Ważne jest, aby przekształcenia wykonywać tylko na wierszach.

Jeżeli ktoś nie przyzwyczajony do rozwiązywania układów równań w macierzy to może sobie równolegle pisać cały układ równań – w ten sposób łatwo docenić metodę macierzową (jest dużo mniej pisania).

Liczymy

⌊ 2 3 1 2 1 4 |1⌋ ⌊ 0 − 5 − 1 − 2 − 1 0 |− 5⌋ | | | | | | | 1 4 1 2 1 2 |3| = | 1 4 1 2 1 2 | 3 | = ⌈ 0 5 3 0 3 − 2 |5⌉ ⌈ 0 5 3 0 3 − 2 | 5 ⌉ 6 8 2 3 7 1 |9 W1−2W 2 0 − 16 − 4 − 9 1 − 11 |− 9 W2/(−1) W4−6W 2 WW41/↔(W−1)2 ⌊ | ⌋ ⌊ | ⌋ 1 4 1 2 1 2 |3 1 − 1 0 0 0 2 | − 2 = || 0 5 1 2 1 0 |5|| = || 0 5 1 2 1 0 | 5 || ⌈ 0 5 3 0 3 − 2 |5⌉ ⌈ 0 − 10 0 − 6 0 − 2 |− 10⌉ 0 16 4 9 − 1 11 |9 W 1−W 2 0 21 5 11 0 11 | 14 WW3−+3WW2 W 4+ 2W3 ⌊ | 4⌋ 2 1 −1 0 0 0 2 | − 2 || 0 5 1 2 1 0 | 5 || = ⌈ 0 − 10 0 − 6 0 − 2 |− 10⌉ = 0 1 5 − 1 0 7 | − 6 W1+W 4 | W 2−5W4 ⌊ | W3⌋+ 10W 4 1 0 5 − 1 0 9 | − 8 || 0 0 − 24 7 1 − 35 | 35 || = ⌈ 0 0 50 − 16 0 68 |− 70 ⌉ = | 0 1 5 − 1 0 7 || − 6 W 3/ (− 16) ⌊ 1 0 5 − 1 0 9 |− 8⌋ | | | = | 0 0 − 2245 7 1 − 3157 | 3355| = ⌈ 0 0 − -8 1 0 − -4 | 8-⌉ 0 1 5 − 1 0 7 |− 6 WW 1−+W7W 3 W24+W 33 ⌊ 15 19 | 29⌋ 1 0 817 0 0 421 |−358 = || 0 0 − -8 0 1 − -4 | -8 || ⌈ 0 0 − 258 1 0 − 174 | 358 ⌉ 0 1 15 0 0 11 |− 13 ( 8 4 | 8 | x 1 = − 289− 185x3 − 149x6 ||{ 35 17 21 x 5 = 8 + 8 x3 + 4 x6 || x 4 = 385+ 285x3 + 147x6 |( x = − 13− 15x − 11x . 2 8 8 3 4 6

Zatem wszystkie rozwiązania są postaci

⌊ − 29− 15x − 19x ⌋ | 183 815 3 141 6| | − 8 − 8 x3 − 4 x6| || x3 || || 358 + 258 x3 + 174 x6 || ⌈ 35 + 17x + 21x ⌉ 8 8 3 4 6 x6

 
Odpowiedź: ⌊ 29 15 19 ⌋ − -8 − -8 x3 −-4 x 6 ||− 138 − 158 x3 − 114 x 6|| | x3 | || 35 25 17 || |⌈ 385 + 187 x3 + 241 x 6|⌉ -8 + -8 x3 +-4 x 6 x6 , gdzie x3,x 6 ∈ R

Wersja PDF