Zadanie nr 1255784

Wykazać, że jeśli równanie liniowe A (x) = b w n R , ma dwa różne rozwiązania, to ma ich nieskończenie wiele.

Rozwiązanie

Sposób I

Jeżeli x 1 i x 2 są dwoma różnymi rozwiązaniami, to

A (x − x ) = A (x ) − A (x ) = b − b = 0 ⇒ x − x ∈ kerA . 1 2 1 2 1 2

Ponieważ jądro jest podprzestrzenią liniową i jest niezerowe, więc jest nieskończone. Zatem każdy wektor postaci x1 + k , gdzie k ∈ ke rA spełnia:

A (x + k) = A (x ) + A (k) = b+ 0 = b. 1 1

Sposób II

Jeżeli układ równań ma rozwiązania, to jest ich dokładnie tyle samo co rozwiązań odpowiadającego układu jednorodnego A (x) = 0 . Rozwiązania układu jednorodnego tworzą podprzestrzeń liniową i jeżeli zawiera ona dwa różne punkty to jest nieskończona.