/Studia/Algebra liniowa/Układy równań/Różne

Zadanie nr 1255784

Wykazać, że jeśli równanie liniowe A (x) = b w  n R , ma dwa różne rozwiązania, to ma ich nieskończenie wiele.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Jeżeli x 1 i x 2 są dwoma różnymi rozwiązaniami, to

A (x − x ) = A (x ) − A (x ) = b − b = 0 ⇒ x − x ∈ kerA . 1 2 1 2 1 2

Ponieważ jądro jest podprzestrzenią liniową i jest niezerowe, więc jest nieskończone. Zatem każdy wektor postaci x1 + k , gdzie k ∈ ke rA spełnia:

A (x + k) = A (x ) + A (k) = b+ 0 = b. 1 1

Sposób II

Jeżeli układ równań ma rozwiązania, to jest ich dokładnie tyle samo co rozwiązań odpowiadającego układu jednorodnego A (x) = 0 . Rozwiązania układu jednorodnego tworzą podprzestrzeń liniową i jeżeli zawiera ona dwa różne punkty to jest nieskończona.

Sposób III

Jeżeli x1 i x2 są dwoma różnymi rozwiązaniami równania A (x) = b , to dla dowolnego r ∈ R mamy

A (x1 + r(x2 − x1)) = A (x1)+ rA(x 1)− rA (x2) = b + rb − rb = b .

Zatem dowolny wektor postaci x1 + r(x2 − x1) też jest rozwiązaniem układu.

Wersja PDF
spinner