/Studia/Algebra liniowa/Układy równań/Różne

Zadanie nr 2584251

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dla podanego odwzorowania liniowego wyznaczyć zbiór tych wektorów b , dla których równanie A (x) = b ma rozwiązanie.

A : R 4 → R 4, A (x,y,z,w ) = (x − y− z+ 2w ,2x + 3y − z+ w ,x + y+ w,x − z − 3w ).

Rozwiązanie

Musimy ustalić jak wygląda obraz danego odwzorowania. Zauważmy, że jeżeli b = f(x,y,z,w ) dla pewnego (x ,y ,z,w) ∈ R 4 to

⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ x − y − z + 2w 1 − 1 −1 2 b = || 2x+ 3y − z+ w|| = x ||2 || + y || 3 || + z|| −1 || + w || 1 || ⌈ x+ y+ w ⌉ ⌈1 ⌉ ⌈ 1 ⌉ ⌈ 0 ⌉ ⌈ 1 ⌉ x − z − 3w 1 0 −1 − 3

Na koniec możemy się zastanowić, czy to przedstawienie jest najprostsze możliwe, tzn. czy te trzy wektory generujące obraz A są liniowo niezależne. Aby to sprawdzić liczymy ich rząd.

⌊ ⌋ ⌊ ⌋ 1 − 1 − 1 2 1 − 2 − 1 3 | 2 3 − 1 1 | | 2 1 − 1 − 1| rk|⌈ |⌉ = rk|⌈ |⌉ 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 − 1 − 3 K2−K 1 1 − 1 − 1 − 4 K 3+K 2 ⌊ ⌋K4−K 1 ⌊ ⌋K 4+K 2 − 2 − 3 1 0 1 || 1 0 0 || || 0 0 || = rk⌈ 0 0 0 ⌉ + 1 = rk⌈ 0 0 ⌉ + 2 = 4. − 1 − 2 − 5 − 17 − 5 K 2+ 3K3

 
Odpowiedź: ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ 1 − 1 − 1 2 | 2| | 3 | | − 1| | 1 | b = x |⌈ |⌉ + y |⌈ |⌉ + z|⌈ |⌉ + w |⌈ |⌉ 1 1 0 1 1 0 − 1 − 3 dla x,y,z,w ∈ R

Wersja PDF