/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Wymierne

Zadanie nr 5855758

Oblicz całkę ∫ -x2−3x+2-- x(x2+ 2x+ 1)dx .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szukamy rozkładu funkcji podcałkowej na ułamki proste postaci:

2 2 -x--−-3x-+--2--= x--−-3x-+-2-= a-+ ---b----+ --c--- x(x2 + 2x + 1) x(x + 1)2 x (x+ 1)2 x + 1

Mnożąc obie strony przez x(x+ 1)2 otrzymujemy.

2 2 x − 3x + 2 = a (x+ 1) + bx + cx(x + 1) = = (a + c)x 2 + (2a + b + c)x + a.

Stąd a = 2 oraz c = − 1,b = − 6 oraz

∫ x2 − 3x + 2 ∫ dx ∫ dx ∫ dx ---------2-dx = 2 ---− 6 -------2-− ------= x(x + 1) x (x + 1) x + 1 --6--- = 2 ln |x|+ x+ 1 − ln|x + 1|+ C.

 
Odpowiedź: -6-- 2 ln |x|+ x+1 − ln|x + 1|+ C

Wersja PDF