/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Trygonometryczne

Zadanie nr 2304532

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz całkę ∫ x x cos2 cos 3dx .

Rozwiązanie

Sposób I

Aby zamienić iloczyn w całkowanej funkcji na sumę, skorzystamy ze wzoru

co sα + cos β = 2 cos α+--β-cos α-−-β-. 2 2

Aby prawa strona tego wzoru wyglądała jak całkowana funkcja musimy mieć

{ α+β-= x α2−β- 2x 2 = 3.

Dodając te równania stronami mamy α = 56x , a odejmując β = x6 . Zatem

∫ ∫ ( ) x- x- 1- 5x- x- 3- 5x- x- co s2 cos 3dx = 2 cos 6 + co s6 dx = 5 sin 6 + 3sin 6 + C .

Sposób II

Liczymy dokładnie tak samo jak poprzednio, ale korzystamy z gotowego wzoru

1 cosax co sbx = -(co s(a+ b )x+ cos(a− b)x). 2

Mamy więc

( ) ∫ x x 1 ∫ 5x x 3 5x x co s--cos -dx = -- cos ---+ co s-- dx = --sin ---+ 3sin --+ C . 2 3 2 6 6 5 6 6

 
Odpowiedź: 3 sin 5x-+ 3 sin x + C 5 6 6

Wersja PDF