Zadanie nr 2458550

Oblicz całkę ∫ ---dx----- cos4x sin2x .

Rozwiązanie

Pozbywamy się cos 4x tak, aby móc podstawić t = co s2x .

∫ dx ∫ sin2xdx || t = cos 2x || -------------= -----------------2----= || || = cos 4x sin 2x (2 cos2 2x− 1)sin 2x dt = − 2sin 2xdx ∫ − 1dt 1 ∫ dt = --------2--------= -- ---------------. (2t2 − 1)(1− t2) 4 (t2 − 12)(t2 − 1)

Otrzymaliśmy całkę z funkcji wymiernej, którą rozkładamy na ułamki proste.

∫ ( ∫ ∫ ) 1- -------dt-------= 1- -dt---− --dt-- = 4 (t2 − 1)(t2 − 1 ) 2 t2 − 1 t2 − 1 ( 2 ( 2 ) ) 1 1 (∫ dt ∫ dt ) √ 2- ∫ dt ∫ dt = -( -- -----− ----- − ----( ----1--− -----1-) ) = 2 2 t− 1 t+ 1 2 t− √2- t+ √2- √ --( | | | |) 1- --2- || -1-|| || -1-|| = 4(ln|t− 1|− ln |t+ 1|)− 4 ln |t− √ 2|− ln |t+ √ 2| + C = | | √ -- || || 1 |t− 1| 2 |t− √12-| = -ln ||-----||− ----ln ||-----1-||+ C . 4 t+ 1 4 |t+ √2 |

Mamy więc

∫ | | √ -- || 1√-|| -----dx------ 1- ||co-s2x-−-1 || --2- ||cos2x-−---2|| co s4x sin 2x = 4 ln|co s2x + 1 |− 4 ln |cos2x + 1√-| + C . | 2|

Odpowiedź: | | √ - ||cos2x− 1√-|| 14 ln ||ccooss22xx−+11||− -42ln||-------1√2||+ C cos2x+ 2