/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Trygonometryczne

Zadanie nr 3205227

Oblicz całkę ∫ sin 5x cos2xdx .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Aby zamienić iloczyn w całkowanej funkcji na sumę, skorzystamy ze wzoru

α-+-β- α-−-β- sin α + sinβ = 2 sin 2 cos 2 .

Aby prawa strona tego wzoru wyglądała jak całkowana funkcja musimy mieć

{ α+β-= 5x α2−β -2--= 2x.

Dodając te równania stronami mamy α = 7x , a odejmując β = 3x . Zatem

∫ ∫ 1- -1- 1- sin 5x cos2xdx = 2 (sin 7x + sin 3x)dx = − 14 cos 7x − 6 cos 3x+ C.

Sposób II

Liczymy dokładnie tak samo jak poprzednio, ale korzystamy z gotowego wzoru

1 sin ax cosbx = --(sin(a+ b)x + sin(a− b)x) 2

Mamy więc

∫ 1∫ 1 1 sin 5x cos2xdx = -- (sin 7x + sin 3x)dx = − ---cos 7x − --cos 3x+ C. 2 14 6

 
Odpowiedź: − 114 cos7x − 16 cos 3x+ C

Wersja PDF