/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Trygonometryczne

Zadanie nr 3991586

Oblicz całkę ∫ 2 cos xdx .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Najprostszy sposób policzenia tej całki, to skorzystanie ze wzoru

1 1 co s2x = 2cos2 x− 1 ⇒ c os2x = --+ --cos2x . 2 2

Liczymy

∫ 2 ∫ 1 1 x 1 cos xdx = 2-+ 2-cos 2xdx = 2-+ 4-sin2x + C.

Sposób II

Jeżeli ktoś nie lubi tożsamości trygonometrycznych, to może całkować przez części.

∫ ∫ u ′(x )v(x)dx = u(x)v(x )− u(x )v ′(x )dx

Liczymy

∫ | ′ | ∫ I = cosx cosxdx = ||u = cosx v = cos x || = sin xco sx + sin2 xdx = |u = sin x v ′ = − sin x| ∫ ∫ sin xcos x + 1 − co s2xdx = sin x cosx + x − cos2 xdx = = sinx cos x+ x− I 1 2I = sin xcos x+ x ⇒ I = -(x + sinx cos x). 2

 
Odpowiedź: x + 1 sin2x + C = 1 (x+ sin x cosx) + C 2 4 2

Wersja PDF