/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Trygonometryczne

Zadanie nr 4548232

Oblicz całkę ∫ 2 sin xdx .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Najprostszy sposób policzenia tej całki, to skorzystanie ze wzoru

1 1 cos2x = 1 − 2sin2 x ⇒ sin2 x = --− --cos2x . 2 2

Liczymy

∫ 2 ∫ 1 1 x 1 sin xdx = 2-− 2-cos 2xdx = 2-− 4 sin 2x+ C

Sposób II

Jeżeli ktoś nie lubi tożsamości trygonometrycznych, to może całkować przez części.

∫ ∫ u ′(x )v(x)dx = u(x)v(x )− u(x )v ′(x )dx

Liczymy

∫ | ′ | ∫ I = sin x sin xdx = || u = sinx v = sin x|| = − sin x cosx + cos2xdx = |u = − cosx v′ = cosx| ∫ ∫ − sin x cosx + 1− sin 2xdx = − sin xcos x + x − sin2 xdx = = − sin xco sx + x − I 1 2I = − sin xco sx + x ⇒ I = -(x − sin xco sx). 2

 
Odpowiedź: x − 1 sin2x + C = 1 (x− sin x cosx) + C 2 4 2

Wersja PDF