/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Trygonometryczne

Zadanie nr 9215795

Oblicz całkę ∫ ---dx--- 1+2cos2x .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy, że jeżeli podstawimy t = tg x to

2 cos2x 2 -----cos-x----- ----cos2x---- ---1-- cos x = sin2 x+ cos2x = sin2x+ cos2-x = t2 + 1. cos2x cos2 x

Zatem

∫ || -dt-|| ∫ ----dx------= ||t = tgx dx = 1+t2||= ----1----⋅ -dt---= 1 + 2 cos2x | co s2 x = --12 | 1 + -22- 1+ t2 ∫ ∫ 1+t 1+t = --dt--= 1- ----dt----= √1--arctg√-t-+ C = √1-a rctg t√g-x+ C. t2 + 3 3 (√t-)2 + 1 3 3 3 3 3

 
Odpowiedź: √1-arctg t√gx+ C 3 3

Wersja PDF