/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria

Zadanie nr 7229764

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest trójkąt prostokątny o kącie prostym przy wierzchołku C . Środkowa CD tworzy z przyprostokątną AC kąt 30∘ . Wynika stąd, że kąt między tą środkową a wysokością CE trójkąta ma miarę
A) 30∘ B) 4 0∘ C) 45∘ D) ∘ 20

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku

PIC

Sposób I

Ponieważ punkt D jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC , więc DC = DA , czyli trójkąt ACD jest równoramienny. Mamy zatem

∡CAD = 30∘.

Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny CEA

∡ECA = 180∘ − 90 ∘ − 3 0∘ = 60∘.

Zatem

∡ECD = ∡ECA − ∡DCA = 6 0∘ − 30∘ = 30∘.

Sposób II

Jak zauważyliśmy w poprzednim sposobie, punkt D jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC , skąd DB = DC . Ponadto

∡BCD = 90∘ − 30∘ = 60 ∘.

Trójkąt BCD jest więc równoramienny i jeden z jego kątów ma miarę 60∘ . To oznacza, że jest równoboczny. W takim razie odcinek CE jest wysokością w trójkącie równobocznym CDB , czyli tworzy z bokiem CD kąt o mierze 30∘ .  
Odpowiedź: A

Wersja PDF