/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria

Zadanie nr 7434509

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trójkącie ABC poprowadzono środkową AE i okazało się, że |AE | = |BE | . Zatem trójkąt ABC jest trójkątem
A) ostrokątnym B) równobocznym C) równoramiennym D) prostokątnym

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku

PIC

Sposób I

Ponieważ AE jest środkową, więc BE = EC = AE . Zatem trójkąty ABE i AEC są równoramienne, czyli

∡EAC = ∡ECA = α i ∡EBA = ∡EAB = β.

Liczymy teraz sumę miar kątów w trójkącie ABC .

α + β + α + β = 180∘ 2α + 2β = 180∘ ⇒ α+ β = ∡BAC = 90∘.

Zatem trójkąt jest prostokątny.

Sposób II

Ponieważ EB = EA = EC , punkt E jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC . To jednak oznacza, że kąt BAC jest oparty na średnicy, czyli jest prosty.  
Odpowiedź: D

Wersja PDF