/Szkoła średnia/Nierówności/Trygonometryczne

Zadanie nr 7971305

Rozwiąż nierówność − 2 sin 2x ≥ 1 w przedziale ⟨0,2π ⟩ .

Rozwiązanie

Daną nierówność możemy zapisać w postaci

− 2 sin 2x ≥ 1 − 1 ≥ 2 sin2x / : 2 1 − --≥ sin2x . 2

Szkicujemy sinusa.

Rozwiązaniem powyższej nierówności jest

⟨ ⟩ 2x ∈ − 5-π + 2kπ ,− π- + 2kπ / : 2 6 6 ⟨ 5π π ⟩ x ∈ − --- + kπ ,− ---+ kπ . 12 12

Teraz trzeba ustalić jaka część tego zbioru znajduje się w przedziale ⟨0,2π ⟩ . Łatwo zauważyć, że powyższe przedziały znajdują się w przedziale tylko dla k = 1,2 . Mamy więc rozwiązanie

⟨ ⟩ 5π- π-- x ∈ − 1 2 + kπ ,− 12 + kπ dla k = 1,2 ⟨ ⟩ x ∈ −-5π-+--12kπ-, −-π-+-12kπ- dla k = 1,2 1 2 12 ⟨ 7π 1 1π ⟩ ⟨ 19π 23 π⟩ x ∈ ---,---- ∪ ----,---- . 12 12 12 12

Odpowiedź: ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ 71π2-, 111π2 ∪ 119π2-, 2312π

Wersja PDF