/Szkoła średnia/Nierówności/Trygonometryczne

Zadanie nr 9178738

Rozwiąż nierówność − 2 sin 3x ≥ 1 w przedziale ⟨0,2π ⟩ .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Daną nierówność możemy zapisać w postaci

− 2 sin 3x ≥ 1 − 1 ≥ 2 sin3x / : 2 1 − --≥ sin3x . 2

Szkicujemy sinusa.

PIC

Rozwiązaniem powyższej nierówności jest

⟨ ⟩ 3x ∈ − 5-π + 2kπ ,− π- + 2kπ / : 3 6 6 ⟨ 5π 2k π π 2kπ ⟩ x ∈ − --- + ----,− ---+ ---- . 18 3 18 3

Teraz trzeba ustalić jaka część tego zbioru znajduje się w przedziale ⟨0,2π ⟩ . Łatwo zauważyć, że powyższe przedziały znajdują się w przedziale ⟨0,2π ⟩ tylko dla k = 1,2,3 . Mamy więc rozwiązanie

⟨ ⟩ 5π- 2kπ- π-- 2k-π x ∈ − 18 + 3 ,− 18 + 3 dla k = 1,2,3 ⟨ ⟩ x ∈ −-5π-+-12k-π, −-π-+-12kπ-- dla k = 1,2,3 18 18 ⟨ 7π 11π ⟩ ⟨ 19 π 23π ⟩ ⟨ 31π 35π ⟩ x ∈ ---,---- ∪ ---- ,---- ∪ ----, ---- . 18 18 18 18 18 1 8

 
Odpowiedź: ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ 71π8, 111π8- ∪ 191π8-, 2318π ∪ 311π8-, 351π8

Wersja PDF