/Szkoła średnia/Nierówności/Trygonometryczne

Zadanie nr 9605537

Posługując się wykresem funkcji f(x) = co s2x dla ( 3π⟩ x ∈ − π , 2 , rozwiąż nierówność cos 2x < sin α wiedząc, że miara kąta jest równa mierze łukowej kąta środkowego okręgu opartego na 512 okręgu.

Rozwiązanie

Obliczmy najpierw – jest to 5- 12 kąta pełnego, czyli

5 5 α = ---⋅2 π = -π . 12 6

Zatem

5 ( π ) π 1 sin α = sin 6-π = sin π − 6- = sin 6-= 2-.

Teraz szkicujemy wykres y = cos 2x .

Rozwiązanie nierówności cos2x < 12 odczytamy z wykresu, ale najpierw zastanówmy się, gdzie funkcja y = cos 2x przecina prostą y = 1 2 . Zwykły cosinus przecina tę prostą w punktach x = π-+ 2kπ 3 i x = − π-+ 2k π 3 . My mamy jednak zamiast , co daje nam punkty π- x = 6 + kπ i π x = − 6-+ kπ . Łatwo sprawdzić, że w interesującym nas przedziale jest 5 punktów tej postaci: