Zadanie nr 1020980
Oblicz sumę wszystkich rozwiązań równania
![2 sin 3x + cos xco s2x = sin x,](https://img.zadania.info/zad/1020980/HzadT0x.png)
które należą do przedziału .
Rozwiązanie
Sposób I
Przekształcamy dane równanie.
![3 0 = sin x− 2sin x− cosx cos2x 0 = sin x(1− 2sin2 x)− cosx cos 2x 0 = sin xco s2x − cos xco s2x = 0 = co s2x(sin x− cosx ) 0 = co s2x lub sin x = co sx.](https://img.zadania.info/zad/1020980/HzadR0x.png)
Po drodze skorzystaliśmy ze wzoru:
![cos2α = 1− 2sin2 α.](https://img.zadania.info/zad/1020980/HzadR1x.png)
Rozwiązaniem pierwszego równania są liczby
![π 2x = --+ kπ / : 2 2 π- kπ- x = 4 + 2 , k ∈ Z .](https://img.zadania.info/zad/1020980/HzadR2x.png)
Popatrzmy teraz na drugie równanie – oczywiście musi być , bo inaczej
i taka wartość
nie spełnia tego równania. Możemy więc obie strony podzielić przez
i mamy równanie
![tg x = 1.](https://img.zadania.info/zad/1020980/HzadR7x.png)
Jego rozwiązania to
![π x = --+ k π, k ∈ Z . 4](https://img.zadania.info/zad/1020980/HzadR8x.png)
Zauważmy, że otrzymane rozwiązania równania zawierają się we wcześniej uzyskanych rozwiązaniach równania
. Wszystkie rozwiązania wyjściowego równania są więc postaci
![π- + kπ-, k ∈ Z . 4 2](https://img.zadania.info/zad/1020980/HzadR11x.png)
Sprawdźmy dla jakich wartości otrzymamy rozwiązania w przedziale
.
![π- kπ- 2- − 8π ≤ 4 + 2 ≤ 24 π / ⋅ π 1 1 − 16 ≤ --+ k ≤ 48 / − -- 2 2 1- 1- − 16 2 ≤ k ≤ 47 2.](https://img.zadania.info/zad/1020980/HzadR14x.png)
Interesują nas tylko całkowite wartości , więc
. Suma, która mamy obliczyć jest więc sumą
kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy
i pierwszym wyrazie
![a 1 = π-+ (− 16)⋅ π-= π-− 8π = − 31π-. 4 2 4 4](https://img.zadania.info/zad/1020980/HzadR19x.png)
Suma ta jest więc równa
![( ) 2a + (n − 1)r 2⋅ − 314π + 63 ⋅ π2 S 64 = --1------------⋅n = --------------------⋅64 = ( 2 ) 2 31π- 63π- = − 2 + 2 ⋅32 = 16π ⋅32 = 512π .](https://img.zadania.info/zad/1020980/HzadR20x.png)
Sposób II
Przekształcamy dane równanie – tak samo jak w pierwszym sposobie skorzystamy ze wzoru
![cos2α = 1− 2sin2 α.](https://img.zadania.info/zad/1020980/HzadR21x.png)
Mamy zatem
![2 sin 3x + cos xco s2x − sin x = 0 3 2 2 sin x + cos x(1 − 2sin x)− sin x = 0 2 sin 3x − 2 sin 2x cosx + co sx − sinx = 0 2 sin 2x(sin x− cosx )− (sin x− cosx ) = 0 2 (sin x− cosx )(2( sin x − 1))= 0 / : 2 2 1- (sin x− cosx ) sin x − 2 = 0 ( √ --) ( √ -) --2- --2- (sin x− cosx ) sin x − 2 sinx + 2 = 0.](https://img.zadania.info/zad/1020980/HzadR22x.png)
Mamy zatem lub
. Rozwiązaniem pierwszego równania są liczby postaci
![π k π x = --+ ---, k ∈ Z . 4 2](https://img.zadania.info/zad/1020980/HzadR25x.png)
Rozwiążmy jeszcze drugie równanie – będziemy chcieli skorzystać ze wzoru
![sin (α − β) = sin αco sβ − sinβ cos α](https://img.zadania.info/zad/1020980/HzadR26x.png)
na sinus różnicy. Mamy więc
![√ -- 2 sinx − co sx = 0 / ⋅---- π π 2 sinx cos --− sin --co sx = 0 ( 4 ) 4 sin x− π- = 0 . 4](https://img.zadania.info/zad/1020980/HzadR27x.png)
Rozwiązaniem tego równania są liczby postaci
![π x− --= kπ 4 x = π- + kπ , k ∈ Z . 4](https://img.zadania.info/zad/1020980/HzadR28x.png)
Otrzymane liczby są już jednak zawarte we wcześniej otrzymanych rozwiązaniach:
![π- k-π x = 4 + 2 , k ∈ Z .](https://img.zadania.info/zad/1020980/HzadR29x.png)
Sumę rozwiązań, które są zawarte w przedziale obliczamy tak samo jak w pierwszym sposobie.
Odpowiedź: